¿Alguien puede explicar este límite trigonométrico?

Question

Tengo $$\lim \limits_{x\to 0} \frac {\tan(2x)}{\sin(x)}$$ and in my case the result is $\frac{2}{1}$ = 2 no se si es correcto.

Este es mi procedimiento.

$$\lim \limits_{x\to 0} \frac{\frac {\sin(2x)}{\cos(2x)}}{\frac{\sin(x)}{1}}= \lim \limits_{x\to 0} {\dfrac {\sin(2x)}{(\cos(2x))(\sin(x))}}=\dfrac{2x\frac {\sin(2x)}{2x}}{\cos(2x)\frac{x\sin(x)}{x}}$$

Separar el límite.

$$\frac{\left(\lim \limits_{x\to 0}2x\right) \cdot \left(\lim \limits_{x\to 0}\frac {\sin(2x)}{2x}\right)}{\lim \limits_{x\to 0}\left(\cos(2x)\right)\cdot\left(\lim \limits_{x\to 0}\frac{x\sin(x)}{x}\right)} = \lim \limits_{x\to 0} \dfrac{2x}{x}=\frac{2}{1} =2$$

Answer 1

Dar la respuesta correcta, pero tarda un poco más trabajo del necesario.

Un método alternativo es utilizar la fórmula de doble ángulo para $\sin$. Es decir: $$\sin(2x) = 2\cos(x)\sin(x)$ $

Por lo tanto: $$\begin{align}\require{cancel} \lim_{x\to0} \frac{\tan(2x)}{\sin(x)} &= \lim_{x\to0} \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)\sin(x)} \\ &= \lim_{x\to0} \frac{2\cos(x)\cancel{\sin(x)}}{\cos(2x)\cancel{\sin(x)}} \\ &= \lim_{x\to0} \frac{2\color{blue}{\cos(x)}}{\color{red}{\cos(2x)}} \\ &= \frac{2\cdot \color{blue}{1}}{\color{red}{1}} \\ &= \boxed2 \end {Alinee el} $$

Answer 2

Lo que has escrito no es del todo correcto. Una cosa es probablemente esencialmente una errata: Se omite $\lim\limits_{x\to0}$ en su tercera expresión. Pero no se puede separar de los límites tan completamente como lo hizo cuando conduce el numerador y el denominador de ambos se $0$. En lugar de $$ \frac{(\lim_{x\to 0}2x) \cdot \left(\lim_{x\to 0}\frac {\sin(2x)}{2x}\right)}{(\lim_{x\to 0}\cos(2x))\cdot\left(\lim_{x\to 0}\frac{x\sin(x)}{x}\right)}, $$ usted necesita $$ \lim_{x\to 0}\frac{2x}{x} \cdot \frac{\left(\lim_{x\to 0}\frac {\sin(2x)}{2x}\right)}{(\lim_{x\to 0}\cos(2x))\cdot\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}\right)}. $$

Usted no puede separarse $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{2x}{x}$ a $\displaystyle\frac{\lim_{x\to0} 2x}{\lim_{x\to0} x}$ debido a que ambos límites se $0$. Usted necesita cancelar la $x$ desde el numerador y el denominador antes de tomar el límite.

Answer 3

¿Lo que está permitido utilizar? Una manera más fácil de solucionarlo es mediante la expansión de numerador y denominador en la serie de Maclaurin de $ x \to 0$: $$ \lim_{x \to 0}\frac{2x+O(x^3)}{x+O(x^3)} = 2 $$