Evaluación de un límite de una integral

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema.

Dejemos que $f:[0,\infty)\rightarrow\mathbb R$ sea una función continua y $b>a>0$ sean números reales. Demostrar que $$ \lim_{\epsilon\rightarrow+0}\int_{a\epsilon}^{b\epsilon}\frac{f(x)}{x}dx = f(0)\log\frac{b}{a}.$$

Si $f$ fueran diferenciables podría utilizar la integración por partes, pero no sé qué hacer con la continua general $f$ .

Les agradecería que me dieran una pista.

Answer 1

Desde $f$ es continua está acotada, por lo tanto por DCT:

$$\lim_{\epsilon\to 0}\int_{a\epsilon}^{b\epsilon} \frac{f(x)}{x}\,dx\overset{x\mapsto\epsilon x}=\lim_{\epsilon\to 0}\int_a^b \frac{f(\epsilon x)}{x}\,dx=\int_a^b \frac{f(0)}{x}\,dx=f(0)\ln \frac{b}{a}$$

Answer 2

Después de todo, esto no fue difícil.

Dejemos que $I$ sea la integral en el LHS, entonces tenemos $$ \inf_{a\epsilon\le x\le b\epsilon}f(x)\log(b/a) \le I \le \sup_xf(x)\log(b/a). $$

Desde $f$ es continua, el LHS y el RHS tienden a $f(0)\log(b/a)$ como $\epsilon\rightarrow+0$ y por lo tanto $I\rightarrow f(0)\log(b/a)$ .

Answer 3

$$\int_{a\epsilon}^{b\epsilon}\frac{f(x)}{x}dx = \int_{a\epsilon}^{b\epsilon}\frac{f(x)-f(0)}{x}dx + \int_{a\epsilon}^{b\epsilon}\frac{f(0)}{x}dx .$$

La segunda integral se evalúa a la respuesta que se desea, por lo que la primera queremos demostrar que es cero en el límite. Desde el teorema del valor medio:

$$\int_{a\epsilon}^{b\epsilon}\frac{f(x)-f(0)}{x}dx = \frac{f(\xi)-f(0)}{\xi} \varepsilon (b-a) $$

para algunos $a \varepsilon \le \xi \le b \varepsilon$ . Por lo tanto, $$\frac{1}{b} \le \frac{\varepsilon}{\xi}\le \frac{1}{a},$$ así que

$$(f(\xi)-f(0) )\frac{(b-a)}{b} \le \frac{f(\xi)-f(0)}{\xi} \varepsilon (b-a) \le (f(\xi)-f(0)) \frac{(b-a)}{a}$$

Como $\varepsilon \rightarrow 0+$ También lo hace $\xi \rightarrow 0+$ Por lo tanto, por la prueba de compresión es cero.