Me gustaría reformular el problema un poco para adaptarla a mi usances.
$$5^m = 2+3^n \\5^m = 5-3+3^n \\
5(5^{m-1}-1) = 3(3^{n-1}-1) $$
$$ \tag 1 {5^a-1 \over 3} = {3^b-1 \sobre 5} \\
\small \text{ dejamos un=m-1 y b=n-1 para la dificultad}$$
Ahora tenemos concurriendo las condiciones cuando se mira en los poderes de la primefactor descomposición de la lhs y rhs.
Debo introducir dos taquigrafía-notaciones para la siguiente. Escribimos$\qquad 1. \qquad [a:p] = 1 $ si p es un factor en un y $ [a:p] = 0 $ si no (este es el "Iverson-soporte")
$\qquad 2. \qquad \{a,p\} = m $ , lo cual significa, que m es el exponente, a la que p es un primefactor en una .
Empezamos a buscar a p=3 en el lado izquierdo y q=5 en el lado derecho en(1) (ambos pueden ocurrir sólo una vez en los numeradores) y, a continuación, en los poderes de la primefactor p=2 , p=7 y p=13 , que debe ser igual en ambos lados. Se muestra un enfoque sistemático, que también puede ser tomado por problemas similares.
El primefactors, que debe producirse de manera diferente:
La ocurrencia de la primefactor 3 en el lado izquierdo se determina por la fórmula
$$ \{5^a-1,3\} = [a:2](1 + \{a,3\}) $$
y porque se permite que ocurra exactamente una vez, una debe ser uniforme y no divisible por 3 lo $$a = \pm 2 \pmod 6) \tag 2$$
La ocurrencia de la primefactor 5 en el lado derecho se determina por la fórmula
$$ \{3^b-1,5\} = [b:4](1 + \{b,5\}) $$
y porque se permite que ocurra exactamente una vez, b debe ser divisible por 4 y no divisible por 5 lo $$b = (4,8,12,16) \pmod {20} \tag 3$$
El primefactors, lo que debe ocurrir igualmente:
Mirando el primefactor 2 tenemos para el lado izquierdo:
$$ \{5^a-1,2\} = 2 + \{a,2\} \tag {3.1} $$
y para el lado derecho
$$ \{3^b-1,2\} = 1 + [b:2]+ \{b,2\}) \tag {3.2} $$
Tenemos desde el anterior que b debe ser divisible por 4 , de modo que el exponente de primefactor 2 debe ser de al menos 4 por (3.2) y por lo tanto una también debe ser divisible por 4 (y debe, de hecho, tienen el mismo número de primefactors 2 como b).
Mirando el primefactor 7 tenemos para el lado izquierdo:
$$ \{5^a-1,7\} = [a:6] (1 + \{a,7\}) \tag {4.1}$$
y para el lado derecho
$$ \{3^b-1,7\} = [b:6](1 + \{b,7\}) \tag {4.2} $$
A partir de esto, porque una no puede ser divisible por 6 , por la necesaria igualdad de poderes de primefactor 7 también b no puede ser divisible por 6.
Mirando el primefactor 13 tenemos para el lado izquierdo:
$$ \{5^a-1,13\} = [a:4] (1 + \{a,13\}) \tag {5.1} $$
y para el lado derecho
$$ \{3^b-1,13\} = [b:3](1 + \{b,13\}) \tag {5.2}$$
Ahora llegamos condiciones contradictorias: ya sabemos que una debe ser divisible por 4 pues la primefactor p=13 se llevará a cabo en el lado izquierdo de (1) por (5.1). Pero debido a que b es aún pero nunca divisible por 6, es también nunca divisible por 3 y por lo tanto la primefactor 13 ¿ no se producen en el lado derecho de (1) por (5.2).
Conclusión: no hay más solución después de que el "trivial" uno para n=m=1
