En familiarizado libros de introducción en la categoría de teoría, uno de los primeros ejemplos de una categoría dada es de Conjunto. ¿En qué categoría es eso?
Normalmente no se da una explicación en esta etapa. Pero, por supuesto, la categoría a la que estamos tratando con depende de nuestra teoría de conjuntos. Para un NF-iste, la categoría de NFsets tiene propiedades muy diferentes de los habituales de la categoría de Conjunto (para empezar NFsets no es cartesiana cerrada). Pero bueno, una intro libro no se va a mencionar que en la Cad. 1! La caridad y de la lectura es que los autores tienen que recurrir a sus lectores a pensar en Conjunto , que comprende los conjuntos que ya sabemos y el amor de su nivel de introducción de conjunto de la teoría del curso. Que son puros juegos de la jerarquía acumulativa-pura en la que no hay urlements, no memberless entidades en el universo de los conjuntos de otros que los vacíos de conjuntos.
OK, entonces: en la ausencia de especial explícita señales al contrario, parece que podría adoptar Conjunto a ser una categoría de puro conjuntos de la costumbre de la jerarquía. ¿Y qué más?
Pero entonces, ¿qué vamos a hacer, por ejemplo, de la presentación habitual de la Yoneda integrarse como $\mathcal{Y}\colon \mathscr{C} \to [\mathscr{C}^{op}, \mathbf{Set}]$. Ponerlo de esta manera, se supone que los hom-colecciones $\mathscr{C}(A, B)$ $A, B \in \mathscr{C}$ viven en realidad en $\mathbf{Set}$. Y ya que tal hom-colección es un conjunto de $\mathscr{C}$-flechas, que se supone que el $\mathscr{C}$-flechas debe vivir en el mundo de la pura conjuntos. [Queremos la correspondiente hom-colecciones conjunto de tamaño en el Yoneda la incrustación de caso-pero de no ser mayor que el conjunto de tamaño es una cosa, vivir en el universo de pura conjuntos es algo más!]
Pero ¿realmente queremos suponer que las flechas son siempre puros juegos? No es la categoría de la teoría supone que para ser una historia acerca de cómo los diferentes bits de la matemática universo que estar juntos, que no presuponen algunos integral, en la que todos, en conjunto teórico reduccionismo, y así, en particular, no debe presuponer que todos los morfismos son puros juegos??
Ahora, la base de las secciones que a menudo temprano en la categoría de la teoría a menudo preocuparse de distancia sobre cuestiones de tamaño (conjuntos vs clases, etc.). Pero la actual preocupación es ortogonal a todos los que, en una forma más básica. Si pensamos en los habitantes de los diferentes bits de la matemática universo (diferentes categorías) como sui generis, por lo que las flechas, por ejemplo, de un poset categoría o la libre monoid en un generador de diferentes clases de bestias puras series, una colección correspondiente de flechas (hom-set), seguramente no puede ser considerado como perteneciente a $\mathbf{Set}$ (a diferencia, tal vez, para estar plenamente fielmente asignable a ese mundo).
Supongo que debe haber buenas discusiones de este tipo de cosas en la literatura en algún lugar, y yo no soy duda mostrando mi ignorancia por preguntar de dónde! Pero, por favor, cualquier punteros sería más gratamente recibida.
(Cross-post en MathOverflow: http://mathoverflow.net/questions/194551/do-hom-sets-really-live-in-the-category-set)
