Puede un conjunto de valores críticos de ser densa?

Question

Deje $f\colon \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n$ ser una función suave. Adrs del teorema dice que el conjunto de valores críticos de $f$, la imagen de los puntos críticos, tiene medida cero en $\mathbb{R}^n$. Esto no quiere decir que tal conjunto es discreto, como vemos a $\mathbb{Q}$ no es discreto en $\mathbb{R}$.

Puede un conjunto de valores críticos no ser discretos? Además, puede ser densa?

Answer 1

El conjunto de valores críticos puede ser densa. Para un caso sencillo, vamos a $f:\mathbb R\to \mathbb R$ cualquier $C^\infty$ función de apoyo en la $[-1/2,1/2]$ satisfacción $f(0)=1,f'(0)=0.$ Deje $q_1.q_2, \dots $ ser racionales. Entonces el conjunto de puntos críticos de

$$\sum_{n\in \mathbb {N}} q_nf(x-n)$$

contiene $\mathbb {N},$ $f(\mathbb {N})=\mathbb Q.$

Answer 2

El conjunto de valores críticos, ciertamente, puede ser densa. Por ejemplo, supongamos $g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$ ser cualquier bijection, y deje $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser cualquier función suave tal que $f(x) = g(m)$ todos los $m \in \mathbb{Z}$$x \in (m - \frac{1}{4}, m + \frac{1}{4})$. (Tales funciones pueden ser construidos usando adecuado suave particiones de la unidad.) Por supuesto, $\mathbb{Q}$ puede ser reemplazado por cualquier contables subconjunto de $\mathbb{R}^n$.

Yendo más lejos, puede que el conjunto de valores críticos de ser incontable? Puede influir positiva de la dimensión de Hausdorff (por ejemplo, podría ser el conjunto de Cantor)? Esta respuesta se analiza la última pregunta, de entrar en detalle sobre lo que Adrs en realidad demostró que, si he entendido bien (y no estoy seguro de que yo hago), incluye la declaración de que el conjunto de valores críticos debe tener la dimensión de Hausdorff cero para $C^\infty$ funciones, pero no para $C^k$ funciones $k < \infty$.