Evaluación de un producto de senos

Question

Posible duplicado:
Demostrar que $\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k \pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}$

Estoy buscando una forma cerrada para este producto de los senos:

\begin{equation} \sin \left(\frac{\pi}{n}\right)\,\sin \left(\frac{2\pi}{n}\right)\dots\sin \left(\frac{(n-1)\pi}{n}\right), \end{equation}

donde $n$ es un número entero fijo. Me gustaría ver aquí una estrategia que ojalá se pueda generalizar a casos similares, no sólo el resultado (que probablemente se pueda encontrar fácilmente).

Answer 1

Utilice la fórmula $\sin(x) = \frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})$ para conseguir \begin{align*} \prod_{k=1}^{n-1} \sin(k\pi/n) &= \left(\frac{1}{2i}\right)^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1} \left(e^{k\pi i/n} - e^{-k\pi i/n}\right) \\ &= \left(\frac{1}{2i}\right)^{n-1}\left(\prod_{k=1}^{n-1} e^{k\pi i/n} \right) \prod_{k=1}^{n-1} \left(1-e^{-2k\pi i/n} \right). \end{align*} El primer producto se simplifica a $$e^{\sum_{k=1}^{n-1} k\pi i/n} = e^{(n-1)\pi i/2} = i^{n-1}$$ que se anula con el $i^{n-1}$ en el numerador. El segundo producto puede ser reconocido como el polinomio $f(X) = \prod_{k=1}^{n-1} (X-e^{-2k\pi i/n})$ evaluado en $X = 1$ . Las raíces de este polinomio son las no triviales $n$ -raíces de la unidad, por lo que $f(X) = \frac{X^n-1}{X-1} = 1+X+X^2+\ldots+X^{n-1}$ . Enchufar $1$ para $X$ rinde $$\prod_{k=1}^{n-1} \left(1-e^{-2k\pi i/n} \right) = f(1) = n.$$ En total, tenemos $$\prod_{k=1}^{n-1} \sin(k\pi/n) = \frac{n}{2^{n-1}}.$$