Cuánto se puede decir acerca de la $\det(X)$ si conocemos $\det(I + X)$?

Question

1. ¿Qué podemos decir acerca de la $\det(X)$ si conocemos $\det(I + X)$? Se dar algún tipo de encuadernado para $\det(X)$?
2. En general, si sabemos que el determinante de la matriz de $A + X$ donde $A$ es una constante de matriz, ¿cuánto podemos decir acerca de $\det(X)$?

Gracias por la atención.

Answer 1

El determinante es el producto de los autovalores $$\det({\bf A}) = \prod_k \lambda_k({\bf A})$$

Entonces es bien sabido que todos los autovalores de aumentar en 1 si la adición de $\bf I$ a cualquier matriz:

$$\det({\bf A+I}) = \prod_k (\lambda_k({\bf A})+1)$$

Tal vez usted puede reescribir este producto en algo que usted se sienta cómodo trabajando con. No creo que esto se extiende a cualquier forma agradable a la adición de $\bf X\neq I$.

Answer 2

Si se nos da una matriz invertible $X \in \mathbb R^{n \times n}$ y el siguiente determinante

$$\beta := \det (X + \alpha 1_n 1_n^T)$$

entonces

$$\beta = \det (X + \alpha 1_n 1_n^T) = \det (X) \cdot \underbrace{\det (I_n + \alpha X^{-1} 1_n 1_n^T)}_{= 1 + \alpha 1_n^T X^{-1} 1_n} = (1 + \alpha 1_n^T X^{-1} 1_n) \cdot \det (X)$$

donde hemos utilizado Sylvester determinante de la identidad. Por lo tanto,

$$\det (X) = \frac{\beta}{1 + \alpha 1_n^T X^{-1} 1_n}$$

Answer 3

Deje $\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ el conjunto de valores propios de a $X$. Entonces el conjunto de eigevalues de $I+X$$\{1+\lambda_1,\dots,1+\lambda_n\}$. El determinante de cualquier matriz $X$ es igual al producto de todos los autovalores de a $X$, lo que \begin{align} \det(X) = \prod_{i=1}^n\lambda_i &&\det(I+X) = \prod_{i=1}^n(1+\lambda_i) \tag{1} \end{align} A partir de (1) es claro que (en general) no se puede decir nada acerca de $\det(I+X)$.

Si todos los autovalores de a $X$ son reales y positivos (es decir, $X$ es positiva definida), a continuación,$\det(I+X) > \det(X)$.