¿Qué es una breve secuencia exacta?

Question

Sólo voy a citar mi libro aquí, así que usted puede ver las definiciones que me han dado:

Suponga que se dan en una secuencia de espacios vectoriales $V_i$ lineal y mapas de $\varphi_i: V_i\to V_{i+1}$ conexión de ellos, como se ilustra a continuación: $$\cdots \longrightarrow V_{i-1} \stackrel{\varphi_{i-1}}{\longrightarrow} V_i \stackrel{\varphi_{i}}{\longrightarrow} V_{i+1} \stackrel{\varphi_{i+1}}{\longrightarrow} \cdots$$ The maps are said to be exact at V_i if $\operatorname{im} \varphi_{i-1} = \operatorname{ker}\varphi_i$. The sequence is called an exact sequence if the maps are exact at $V_i$ for all $i$. $\dots$
If $V_1, V_2$ and $V_3$ are three vector spaces, and if the sequence $$0 \stackrel{\varphi_0}{\longrightarrow} V_{1} \stackrel{\varphi_{1}}{\longrightarrow} V_2 \stackrel{\varphi_{2}}{\longrightarrow} V_{3} \stackrel{\varphi_{3}}{\longrightarrow} 0 \tag{1.7}$$ is exact, it is called a short exact sequence. In this diagram "$0$" representa el cero-dimensional espacio vectorial.

OK, aquí está lo que yo no estoy entendiendo. Si la imagen de cualquier función en esta secuencia es el kernel de la siguiente función, no en cada paso de este justo mapa a $0$? E incluso si no lo hizo, porque estamos empezando con el $0$ vector de espacio, todo lo que tiene que asignar a $0$ debido a transformaciones lineales siempre map$0$$0$. Así que yo no soy la comprensión de esta definición. El primer ejercicio justo debajo de estas definiciones es mostrar que la ecuación de $(1.7)$ implica que el $\varphi_1$ es inyectiva y $\varphi_2$ es surjective. Pero todo lo que estoy viendo aquí es una cadena de funciones de asignación de cero a cero. Puede alguien explicar lo que me falta aquí?

Answer 1

Voy a responder con el ejemplo más importante:

Si $T:V \to W$ es una transformación lineal entre espacios vectoriales, entonces

$0 \to \text{Nullspace}(T) \to V \to \text{Range}(T) \to 0$

es una breve secuencia exacta, donde el mapa Nullspace$(T) \to V$ es la inclusión, y el mapa de $V \to \text{Range}(T)$ es sólo $v \mapsto Tv$.

Demostrar que esto es exacto.

Una vez que lo hagas, vas a tener toda una familia de corto exacta secuencias que no son triviales. También, todos los cortos exacta de las secuencias son "isomorfo" a éste para que algunos $T$.

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No es realmente parte de la respuesta, pero un hecho importante acerca de la exacta secuencias (de finito-dimensional espacios vectoriales, y sólo un número finito de ellos) es que si usted toma la alternancia suma de las dimensiones (agregar todas las dimensiones, pero dar impares términos de un signo menos), obtendrá cero. En el ejemplo anterior, esto es equivalente a una conocida hecho de álgebra lineal. De qué está hecho?

Answer 2

Tienes razón que la composición de mapas de $\varphi_n \circ \cdots \circ \varphi_0$ va a ser siempre el cero mapa. Sin embargo, esto no significa que los mapas individuales son el cero mapa. De hecho, es fácil encontrar un par de cero lineal mapas cuya composición es cero. Si usted sigue un único elemento a través de desde el principio, usted sólo va a llegar a cero, pero si usted comienza en algún lugar en el medio de la secuencia, se puede llegar a otros elementos.

Cuál es la definición de una corta secuencia exacta que dice es que, por ejemplo, el núcleo de $\varphi_1$ debe ser igual a la imagen de $\varphi_0$. Sabes cuál es la imagen de$\varphi_0$, por lo que sabemos, por tanto, lo que el núcleo de $\varphi_1$ es de: 0. Que no digo que la imagen de $\varphi_1$ es igual a cero; la imagen de $\varphi_1$ es isomorfo a $V_1/ \ker \varphi_1$. Espero que esta ayuda.

Answer 3

No. La imagen de $\varphi_0$,$\{0\}$, es el núcleo de $\varphi_1$. Por lo tanto $\varphi_1$ es inyectiva.

Del mismo modo el núcleo de $\varphi_3$, $V_3$ es la imagen de $\varphi_2$, lo que significa que $\varphi_2$ es surjective.

Podemos resumir todo esto diciendo que tenemos una breve secuencia exacta si y sólo si $\varphi_1$ es uno-a-uno, $\varphi_2$ a y $\ker \varphi_2=\operatorname{Im}\varphi_1$.

Answer 4

Desde $\varphi_0 (0)=0$, usted tiene que $\ker\varphi_1=0$, lo $\varphi_1$ es inyectiva.

Aquí es un ejemplo. Elija $V$ a ser su favorito de espacio vectorial. Entonces $$0\to V\to V\oplus V\to V\to0$$ is exact when we take $$\varphi_0=0,\ \ \varphi_1 (v)=v\oplus 0,\ \ \varphi_2 (v\oplus w)=w,\ \ \varphi_3 (v)=0$$ for all $v,w \V$. Encontrar los granos y las imágenes y verás.