Significado físico del espacio nulo de una matriz

Question

¿Qué es un intuitivo ¿Qué significa el espacio nulo de una matriz? ¿Por qué es útil?

No busco definiciones de libro de texto. Mi libro de texto me da la definición, pero no la "entiendo".

Por ejemplo: Pienso en el rango $r$ de una matriz como el número mínimo de dimensiones que tendría una combinación lineal de sus columnas; me dice que, si combinara los vectores de sus columnas en algún orden, obtendría un conjunto de coordenadas para un $r$ -espacio dimensional, donde $r$ es mínimo (por favor, corrígeme si me equivoco). Así que eso significa que puedo relacionar rango (y también la dimensión) a los sistemas de coordenadas reales, y por eso tiene sentido para mí. Pero no se me ocurre ningún significado físico para un espacio nulo... ¿podría alguien explicar cuál sería su significado, por ejemplo, en un sistema de coordenadas?

Gracias.

Answer 1

Piensa en un observador y en un número n de altavoces a distinta distancia y en distintas direcciones. Ahora haz una matriz de ecuaciones para el sonido de cada altavoz, basada en la contribución de su amplitud, frecuencias y fase. El espacio nulo estará formado por todas las combinaciones posibles que se pueden establecer de manera que el sonido total/superpuesto en la ubicación del observador sea cero. Esto significa que el observador no oirá nada aunque los altavoces estén sonando.

Answer 2

Es el espacio de solución de la ecuación matricial $AX=0$ . Incluye el vector de solución trivial $0$ . Si $A$ es equivalente en fila a la matriz identidad, entonces el vector cero es el único elemento del espacio solución. Si no lo es, es decir, cuando el espacio de columnas de $A$ es de una dimensión menor que el número de columnas de A entonces la ecuación $AX=0$ tiene soluciones no triviales que forman un espacio vectorial, cuya dimensión se denomina nula.

Answer 3

Si su matriz es A (no tiene que ser cuadrado, puede ser nxm) y tiene rango $r< min(n,m)$ , entonces el espacio nulo está abarcado por ${max(n,m)-r}$ vectores ortogonales y es el espacio ortogonal al $span$ ( A ) $\in \mathbb{R}^{max(n,m)}$ (es decir, la combinación lineal de los vectores base/ortogonales $\in \mathbb{R}^{max(n,m)}$ que son ortogonales a la $r$ vectores base de A ). Véase el teorema de la nulidad. En el ejemplo más sencillo, si $A=\left[\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&0 \end{array}\right] $ entonces $span(A)=\alpha\left[\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right], \alpha \in \mathbb{R}$ y $null(A)=\beta\left[\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right], \beta \in \mathbb{R}$

Juega con "null" en Matlab base, o SVD en Python como en esta respuesta donde se puede ver que cualquier valor propio cero corresponde a los vectores propios de la matriz izquierda que abarcan el espacio nulo (ver también aquí )

Answer 4

En ingeniería mecánica, el ejemplo de $AX=B$ se encuentra en el método de elementos finitos, donde $KU=F$ en el que $K$ es la matriz de rigidez, $U$ es el desplazamiento de los nodos y $F$ representa las fuerzas globales en los mismos nodos. Mientras que $KU=0$ como el $U$ no es igual al vector cero, significa que un sistema como una estructura puede moverse sin que se desarrollen fuerzas en él, o no evitará el desplazamiento definido por $U$ .

Answer 5

Hay otra perspectiva del NullSpace de la matriz AX = 0

• Podemos pensar que el vector X es una especie de vector ortogonal a todos los vectores presentes en la matriz A
• El espacio nulo de la matriz A puede definirse como el conjunto de todos los posibles vectores ortogonales a la matriz A