Significado físico del espacio nulo de una matriz

Question

¿Qué es un intuitivo ¿Qué significa el espacio nulo de una matriz? ¿Por qué es útil?

No busco definiciones de libro de texto. Mi libro de texto me da la definición, pero no la "entiendo".

Por ejemplo: Pienso en el rango $r$ de una matriz como el número mínimo de dimensiones que tendría una combinación lineal de sus columnas; me dice que, si combinara los vectores de sus columnas en algún orden, obtendría un conjunto de coordenadas para un $r$ -espacio dimensional, donde $r$ es mínimo (por favor, corrígeme si me equivoco). Así que eso significa que puedo relacionar rango (y también la dimensión) a los sistemas de coordenadas reales, y por eso tiene sentido para mí. Pero no se me ocurre ningún significado físico para un espacio nulo... ¿podría alguien explicar cuál sería su significado, por ejemplo, en un sistema de coordenadas?

Gracias.

Answer 1

Si $A$ es su matriz, el espacio nulo es, simplemente, el conjunto de todos los vectores $v$ tal que $A \cdot v = 0$ . Es bueno pensar en la matriz como una transformación lineal; si se deja $h(v) = A \cdot v$ entonces el espacio nulo es de nuevo el conjunto de todos los vectores que son enviados al vector cero por $h$ . Piensa en esto como el conjunto de vectores que pierden su identidad como $h$ se les aplica.

Obsérvese que el espacio nulo es, de forma equivalente, el conjunto de soluciones de la ecuación homogénea $A \cdot v = 0$ .

La nulidad es el complemento del rango de una matriz. Ambos son realmente importantes; aquí hay un pregunta similar sobre el rango de una matriz, puedes encontrar algunas buenas respuestas por qué allí.

Answer 2

Esto es una respuesta Tengo de mi propia pregunta es bastante impresionante.

Supongamos que la matriz A representa un sistema físico. Como ejemplo, supongamos que nuestro sistema es un cohete, y A es una matriz que representa las direcciones a las que podemos ir en función de nuestros propulsores. Entonces, ¿qué representan el espacio nulo y el espacio de la columna?

Supongamos que tenemos una dirección que nos interesa. ¿Está en nuestro espacio de la columna? Si es así, entonces podemos movernos en esa dirección. El espacio de la columna es el conjunto de direcciones que podemos alcanzar en base a nuestros propulsores. Supongamos que tenemos tres propulsores igualmente espaciados alrededor de nuestro cohete. Si todos son perfectamente funcionales entonces podemos movernos en cualquier dirección. En este caso nuestro espacio de columna es todo el rango. ¿Pero qué pasa cuando un propulsor se rompe? Ahora sólo tenemos dos propulsores. Nuestro sistema lineal habrá cambiado (la matriz A será diferente), y nuestro espacio de columnas se reducirá.

¿Qué es el espacio nulo? El espacio nulo es el conjunto de instrucciones de los propulsores que desperdician completamente el combustible. Son el conjunto de instrucciones en las que nuestros propulsores empujarán, pero la dirección no cambiará en absoluto.

Otro ejemplo: Tal vez A pueda representar una tasa de rendimiento de las inversiones. El rango son todas las tasas de rendimiento que se pueden alcanzar. El espacio nulo son todas las inversiones que se pueden hacer y que no cambiarían la tasa de rendimiento en absoluto.

Otro ejemplo: la iluminación de la habitación. El espacio de A representa el área de la habitación que se puede iluminar. El espacio nulo de A representa la potencia que podemos aplicar a las lámparas que no cambian en absoluto la iluminación de la habitación.

-- NicNic8

Answer 3

Imagina un conjunto de indicaciones en el mapa a la entrada de un bosque. Puedes aplicar las indicaciones a diferentes combinaciones de senderos. Algunas combinaciones de senderos te llevarán de vuelta a la entrada. Son el espacio nulo de las indicaciones del mapa.

Answer 4

Creo que la forma más fácil de visualizar el espacio nulo es considerar un mapeo matricial que representa el mapeo de un vector a su sombra en $y=0$ de una fuente de luz fija que está lejos.

El espacio nulo de este mapeo es un vector que apunta directamente hacia la fuente de luz, porque el vector que representa su sombra en $y=0$ será $0$ . En general, podemos ver en este ejemplo que para algunos mapeos existirán vectores que siempre serán mapeados a $0$ .

También podemos ver cómo otros vectores sufren un mapeo no invertible. Es decir, a partir de la sombra lo mejor que se podría reconstruir el vector original sería hasta una ambigüedad en la dirección del espacio nulo.

(Esto también es bueno porque puedes hacerlo en una mesa con un bolígrafo)

Answer 5

El rango $r$ de una matriz $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ como ha dicho es la dimensión del espacio de la columna ( $r$ es también la dimensión del espacio de filas), es decir, la dimensión del espacio abarcado por los vectores que se obtienen mediante una combinación lineal de las columnas de $A$ o, lo que es lo mismo, el rango de $A$ . (El uso de la palabra "mínimo" en la pregunta es innecesario). Sin embargo, cada vector columna tiene $m$ y los vectores en el rango de $A$ tiene $m$ componentes como tal, sino que abarcan sólo un $r (\leq m)$ subespacio dimensional en lugar de un $m$ espacio dimensional. Así que nos falta abarcar el resto de $m-r$ subespacio dimensional del $m$ espacio dimensional.

El espacio nulo de la izquierda juega ahora el papel de abarcar el resto de $m-r$ subespacio dimensional. Por eso el espacio nulo izquierdo es ortogonal al espacio de columnas. Así que el espacio nulo izquierdo, junto con el espacio de columnas, abarca ahora todo el $m$ espacio dimensional, es decir, si $C = \{y \in \mathbb{R}^{m \times 1}: y = Ax\text{ for some }x \in \mathbb{R}^{n \times 1} \}$ y $Z_L = \{z \in \mathbb{R}^{m \times 1}:z^T A = 0 \}$ ,

entonces $Z_L \cup C = \mathbb{R}^{m}$ y $Z_L \perp C$

El espacio nulo derecho desempeña el papel análogo para las filas. Las filas abarcan sólo un $r$ subespacio dimensional del $n$ espacio dimensional. El espacio nulo derecho juega ahora el papel de abarcar el resto de $n-r$ subespacio dimensional. Por eso el espacio nulo derecho es ortogonal al espacio de filas. Así que el espacio nulo derecho, junto con el espacio de las filas, abarca ahora todo el $n$ espacio dimensional, es decir, si $R = \{y \in \mathbb{R}^{n \times 1}: y = A^Tx\text{ for some }x \in \mathbb{R}^{m \times 1} \}$ y $Z_R = \{z \in \mathbb{R}^{n \times 1}: Az = 0 \}$ ,

entonces $Z_R \cup R = \mathbb{R}^{n}$ y $Z_R \perp R$