Al darse cuenta de los complejos con bases de complejos celulares

Question

Esta es una pregunta un amigo mío me preguntó hace algún tiempo. Sospecho que la respuesta es "no", pero no puede probarlo.

Cada gratis complejo de abelian grupos es isomorfo a la reducción de celulares complejos de algunos finito CW-complejo; de hecho, uno puede tomar una cuña de bolas y Moore espacios. La pregunta es si hay un resultado similar para los complejos equipados con una base.

Es decir, vamos a $C_{*}$ ser un número finito de la cadena complejo (es decir, el diferencial disminuye el grado) de libre abelian grupos. Supongamos una base $B_i$ $C_i$ es elegido.

1. Es cierto que $(C_{*},(B_i))$ es isomorfo como un complejo con una base para la (posiblemente desplazado) celular reducido complejo de algunos de los CW-complejos con la base dada por las células?

2. ¿Qué sucede si uno trabaja con complejos de finito-dimensional espacios vectoriales sobre $\mathbb{Z}/2$ lugar?

Answer 1

Aquí es un boceto de un argumento para demostrar que la base de todos los complejos de la cadena son realizables. (Esto puede llegar a ser bastante similar a la de Tyler argumento.)

Primero le da una expresión algebraica argumento de que por un cambio de base de la cadena de complejos se pueden poner en un estándar de "diagonal". Por otra parte, el cambio de base se puede lograr mediante una secuencia de operaciones elementales, como en el álgebra lineal, pero ahora sobre los enteros en lugar de un campo, utilizando el hecho de que el grupo $GL(n,Z)$ es generado por las matrices elementales, incluyendo firmado permutaciones. La más importante de las operaciones elementales es añadir más o menos una base de elemento a otro. Haciendo una operación en $C_i$ cambios en los mapas de los límites y de $C_i$ por la multiplicación por una primaria de la matriz y su inversa.

El "diagonalized" complejo de cadena, se pueden realizar geométricamente, por lo que queda por ver que la primaria de la base de operaciones de cambio puede ser realizado de manera geométrica. En el caso especial de la parte superior dimensiones de las células, se puede deslizar una parte de una célula a lo largo del otro para lograr la operación elemental de la adición de más o menos una columna de la salida de límite de la matriz a otra. Para menores dimensiones de las células que se quiere hacer la misma cosa y, a continuación, extender la deformación sobre la mayor de las células. Debería ser posible hacerlo directamente sin gran dificultad. La diapositiva da una manera de asociar un producto a $\{cell\}\times I$, y este producto de la deformación se retrae en cualquiera de los extremos, así que se puede utilizar la deformación de retracción para cambiar la forma en la de mayores dimensiones de las células adjuntar.

El argumento debe trabajar para 1-las células, así como para la de mayores dimensiones de las células, así que no debería ser necesario asumir que $C_1$ es trivial.

Un enfoque alternativo sería temporalmente espesar la célula compleja en un identificador de la estructura de un suave compacto adosado con los límites de lo suficientemente grandes dimensiones, con una me-manejar para cada celda. Deslizamiento de una celda, a continuación, corresponde a deslizamiento de un i-asa, y no está bien establecido de la maquinaria sobre cómo hacer este tipo de cosas, como se ve en la prueba de la h-cobordism teorema, por ejemplo. O uno puede utilizar el lenguaje de funciones de morse y de gradiente como campos vectoriales como en Milnor del libro en el h-cobordism teorema. De cualquier manera, después de todo la primaria de la base de que los cambios han sido realizados por la manija de diapositivas, se puede contraer la maneja de regreso a su núcleo de las células para obtener la deseada base celular de la cadena de complejos.

Hay un montón de detalles para rellenar aquí, ya sea en el celular o la manija de enfoque. No recuerdo ver este resultado en la literatura clásica, pero yo no estaría muy sorprendido si existiera en algún lugar, tal vez en algún papel o libro de J. H. C. Whitehead simple homotopy teoría donde elementales de fila y columna de las operaciones de jugar un gran papel.

Answer 2

Gracias, Allen! Me gusta tu idea mucho y creo que funciona.

Es muy agradable tener que comentar esto, ya que la pregunta estaba motivado por una idea para modificar y utilizar una técnica de la suya y Wagoner para trabajar con Cerf diagramas en contacto con la topología.

Por desgracia, esta pregunta es un juguete de la versión de la otra. Yo todavía no entiendo cómo modificar sus argumentos a trabajar es la siguiente: ¿es posible construir un CW-complejo de realizar el dado algebraico complejo de cadena con una base y con un orden lineal sobre la base de los elementos (es decir, para cualquier k el primero k forma de las células de un CW-subcomplejo). O, en Morse teoría, es posible darse cuenta de dado de la cadena de complejo por el complejo de una fuerte función de Morse, "suficientemente buena en el infinito" y con orden prescrito de puntos críticos. Sería muy útil si puede comentar sobre esto.

El primer problema en caso de que la base de los elementos se ordenan es que el grupo correspondiente no es $GL(n,Z)$, es la parte superior triangular de grupo. Así que no está claro que podamos encontrar un representante de CW-complejo de empezar a deslizarse de sus células. Por otra parte, no sé cuál es la clasificación de de la cadena de Z-comlpexes con ordenó bases en virtud de dicho grupo.

Answer 3

Siempre es posible alterar una solución existente a uno que tiene una base correcta.

Dado su complejo de cadena, el uso de su método original para la construcción de un CW complejo X con la correcta CW-complejo de cadena, pero el mal. Escribir X⁽ⁿ⁾ para su n-esqueleto. Para hacer la vida más fácil asumir que sólo tiene una 0-simplex y no 1-simplices, tal vez por la suspensión de una respuesta anterior. Inductivo suponga que usted ha construido un mapa Y⁽ⁿ⁾ → X⁽ⁿ⁾ de CW-complejos de modo que Y⁽ⁿ⁾ es el n-dimensional y la inducida por el mapa de CW-cadenas es un isomorfismo, de modo que Y⁽ⁿ⁾ tiene la correcta CW-cadenas con base a través de dimensión n. El teorema de Whitehead implica que el mapa Y⁽ⁿ⁾ → X⁽ⁿ⁾ es un homotopy de equivalencia.

Ahora cada X⁽ⁿ⁺¹⁾ es construido por la unión de las células como un (reducida) de la asignación de cono de un mapa de $\bigvee S^n \to X^{(n)}$, donde la homología mapa de $H_n(\bigvee S^n) \to H_n(X^{(n)})$ ha elegido un isomorfismo para el mapa de límite de $C_{n+1} \to Z_n$. El teorema de Hurewicz le dice que su base (B_i) de $C_{n+1}$ ascensores de un mapa de $\bigvee S^{n} \to \bigvee S^{n}$, lo que induce una homología de isomorfismo correspondiente a la inclusión de la base (B_i) de $H_n$.

Entonces X⁽ⁿ⁺¹⁾ es homotopy equivalente a la asignación de cono de la (homotopy equivalente) mapa compuesto $\bigvee S^n \to \bigvee S^n \to X^{(n)}$. Como Y⁽ⁿ⁾ es homotopy equivalente a X⁽ⁿ⁾ , podemos elevar esta corregido de la base de la fijación de mapa a mapa de $\bigvee S^n \to Y^{(n)}$. La asignación de cono de este mapa, que voy a llamar a Y⁽ⁿ⁺¹⁾, es homotopy equivalente a X⁽ⁿ⁾ y tiene la correcta CW-cadenas con base a través de dimensión n+1.

Answer 4

Un comentario a Tyler respuesta:

Gracias por tu respuesta! Era mi pregunta, y he malinterpretado su construcción, a partir de: "Ahora cada X(n+1) es construido por la unión de las células...".

Considere el ejemplo más sencillo: X es una cuña de 2-esfera con 3-disco. Queremos obtener un CW-complejo Y con dos 2-las células a y b y 3-celdas de x, tales que d(x)=a+b. Hemos de empezar a aplicar su construcción: Y_2 es una cuña de dos 2-esferas y homotopy equivalencia X_2\a Y_2 es trivial. Entonces, yo reclamo, es imposible extender este homotopy equivalencia a un homotopy equivalencia entre X e y...

Gracias de nuevo.