Finito en cada punto pero no limitado en cada intervalo

Question

¿Es posible que una función $f$ es finito en cada punto pero no tiene límites en cada intervalo? ¿Y si f es medible?

Answer 1

Sí; la función de base 13 de Conway es un ejemplo de dicha función. Incluso satisface la propiedad del valor intermedio.

La función en sí está definida sólo para el intervalo $(0,1)$ pero aceptando enviar enteros a sí mismos, y tomando traslaciones de la función podemos extenderla fácilmente a toda la línea real.

También se puede precomponer esta función con cualquier homeomorfismo de $\Bbb R$ con $(0,1)$ en realidad.

Answer 2

El ejemplo de Asaf es muy bonito por su propiedad adicional. Un ejemplo más fácil (sin preocuparse por la propiedad del valor intermedio) es dejar que $f(x)$ ser lo que quieras si $x$ es irracional, no importa, mientras que si $x=p/q$ es racional, con $\gcd(p,q)=1$ y $q>0$ , entonces establecemos $f(x)=q$ .

Answer 3

Si insistes en la continuidad, entonces no lo creo. Pero hay funciones cuyas gráficas son densas en el plano, así que eso lo hace. Para cada número racional $m$ elige un número irracional $a_n$ y que $$ f(x) = \begin{cases} mx & \text{if $x$ is a rational multiple of $a_m$,} \\ 0 & \text{if for every rational $m$, $x$ is not a rational multiple of $a_m$.} \end{cases} $$ Creo que eso es todo.