Dejemos que $f$ sea una función analítica en el dominio del disco unitario abierto $D$ . Supongamos también que $f$ está acotado.
Desde $f$ está acotado creo que $f$ puede extenderse continuamente al disco de la unidad cerrada. Sé que los ceros de $f$ en el disco abierto $D$ están aislados. ¿Son los ceros de $f$ en el disco cerrado de la unidad también necesariamente aislado?
Edición (5 de marzo de 2011): Mi respuesta original daba como justificación de las afirmaciones sobre los conjuntos cero un resultado de Rudin y de Carleson que no sólo llegó medio siglo después del resultado de Fatou que ahora se menciona a continuación, sino que además no abordaba directamente el problema. He editado para corregir las deficiencias.
No es cierto en general que $f$ puede extenderse de forma continua hasta el disco cerrado. El conjunto de funciones analíticas acotadas en el disco abierto se denomina álgebra de Hardy, denotada $H^\infty$ y el conjunto de funciones analíticas en el disco que tienen extensiones continuas al disco cerrado se denomina álgebra del disco, a menudo denotada $A(\mathbb{D})$ y $A(\mathbb D)$ está correctamente contenida en $H^\infty$ . Los elementos del álgebra de Hardy tienen límites radiales (o incluso límites no tangenciales) a.e. en la frontera, lo que permite que el álgebra de Hardy se incruste en $L^\infty$ del círculo como el subespacio de las funciones cuyos coeficientes de Fourier de índice negativo desaparecen.
Los elementos del álgebra de Hardy deben ser distintos de cero en el círculo (a menos que sean idénticos a cero). De hecho, esto es cierto incluso para los elementos de $H^1$ es decir, para funciones integrables en el círculo cuyos coeficientes de Fourier de índice negativo desaparecen. (Véase el teorema 17.17 de la obra de Rudin Análisis real y complejo 3ª edición para una declaración mucho más fuerte). Así, para los elementos de $A(\mathbb D)$ los conjuntos cero en la frontera deben ser conjuntos cerrados de medida de Lebesgue cero. Fatou probado en 1906 que para cada subconjunto cerrado $E$ de la frontera con medida de Lebesgue cero, existe un elemento de $A(\mathbb D)$ cuyo conjunto cero es exactamente $E$ . En particular, esto demuestra que los ceros no tienen por qué estar aislados. Por ejemplo, se pueden considerar subconjuntos del círculo similares a los de Cantor para obtener conjuntos cero con muchos puntos límite.
Un teorema relacionado de Rudin dice que dado cualquier subconjunto cerrado $E$ del círculo unitario con medida de Lebesgue (unidimensional) 0, y dada cualquier función continua de valor complejo $g$ en $E$ existe un elemento del álgebra del disco cuya restricción a $E$ es $g$ . Aquí El artículo original de 1956 de Rudin está en JSTOR. Carleson demostraron independientemente el teorema; ici es un enlace (no de acceso abierto) a su artículo, publicado al año siguiente. Rudin señala en su libro Análisis funcional en la página 124 de la segunda edición que el resultado se puede obtener como corolario de un teorema más general de Obispo (Teorema 5.9 del libro) y el F. y M. Riesz teorema . El resultado de Bishop es del documento de 1962 " Teorema general de Rudin-Carleson ."
Una buena referencia para todo lo mencionado anteriormente es el libro de Hoffman Espacios de Banach de funciones analíticas . En particular, los teoremas de Fatou y Rudin aparecen en el capítulo 6, seguidos de una caracterización de los ideales cerrados de $A(\mathbb D)$ .
Para algunos ejemplos explícitos de funciones analíticas acotadas en el disco abierto sin extensión continua al disco cerrado (en otras palabras, elementos de $H^\infty\setminus A(\mathbb{D})$ ), considere Productos Blaschke con infinitos ceros. Si $f$ es una función de este tipo, entonces $f$ tiene valores límite de módulo 1 a.e., y como $f$ tiene infinitos ceros, el conjunto de ceros tiene un punto límite $x$ en el círculo. Si $f$ tuviera una extensión continua al disco cerrado, esto implicaría respectivamente que $f$ tiene módulo 1 en todas partes del círculo, mientras que al mismo tiempo $f(x)=0$ una contradicción.
Además, una forma de construir $H^\infty$ -funciones de $f\in L^\infty(\mathbb{T})$ teniendo $\hat{f}(n)=0$ para $n<0$ ( hat =Coeficientes de Fourier), es tomar la convolución $P_r*f$ que pertenece a $H^\infty$ (el Integral de Poisson de $f$ ).
Me gustaría añadir que hay un buen libro sobre los Espacios Hardy. Se llama "An Introduction to Operators on the Hardy-Hilbert Space" por Martinez-Avendano y Rosenthal. Bueno, yo lo experimenté como bastante difícil pero si tienes más experiencia probablemente sea bastante evidente.
La respuesta de Jonas Meyer es mucho más profunda, pero permítanme decir también lo siguiente.
Incluso si tu función (no nula - no lo has dicho, pero por supuesto lo has querido decir) se extiende de forma continua al disco unitario cerrado, no tiene por qué tener ceros aislados. En efecto, supongamos que $f$ tiene infinitos ceros en el disco unitario abierto. Entonces el conjunto cero de la extensión (putativa) de $f$ al disco unitario cerrado es un subconjunto infinito de un espacio compacto, por lo que debe tener un punto de acumulación: es decir, habrá al menos un punto en la frontera que sea un cero no aislado.
De hecho, por el Teorema de Factorización de Weierstrass, el conjunto cero de una función analítica en el disco unitario abierto puede ser cualquier subconjunto discreto sin puntos de acumulación en el disco abierto. Se puede elegir un conjunto de este tipo para tener todo el límite $|z| = 1$ del disco contenido en su cierre. Concluimos que existe una función analítica no nula $f$ en el disco de la unidad abierta tal que -- si admite una extensión continua al disco unitario cerrado -- esta extensión es idénticamente cero en el límite.
Me interesaría saber si esta construcción puede hacerse incondicional, es decir, si cualquier función analítica con dicho conjunto cero puede extenderse de forma continua a la frontera.
Si $f$ es una función continua en el disco unitario cerrado y analítica en el interior, entonces el conjunto de ceros en la frontera tiene medida de Lebesgue $0$ . Además, la integral del logaritmo de su valor absoluto en el círculo es finita, y esto es válido en general para todos los espacios de Hardy en el disco. Este es el teorema 17.17 de la obra de Rudin Análisis real y complejo 3ª edición. Así, el teorema de Rudin-Carleson da la mayor fuerza que se puede esperar, a saber, que todo conjunto nulo en el círculo es el conjunto cero de tal $f$ .
Sin embargo, el ejemplo de los productos de Blaschke muestra que se puede tener una función analítica acotada cuyo conjunto cero tiene todo el límite en su cierre. La única restricción es que si $a_1,a_2,\ldots$ son los ceros, entonces $\sum_n (1-|a_n|)$ debe ser finito.
@Jonas: gracias. De momento no sabría decir si conocí ese resultado en su día (hace más de una docena de años que cursé un trimestre de análisis complejo de grado) o no. Intentaré reservar esa parte de Rudin cuando tenga la oportunidad. Supongo que el punto de mi respuesta es: si las funciones analíticas se extienden continuamente a la frontera es una cuestión bastante profunda, pero uno puede ver que la discreción del conjunto cero es inverosímil sobre bases (algo) más elementales.
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