cómo mostrar la imagen de un no constante de la función es denso en $\mathbb{C}$?

Question

cómo mostrar la imagen de un no constante de la función es denso en $\mathbb{C}$? hay alguna pequeña prueba? He visto esto como un teorema en algunos libros, pero quiero un poco de primaria de la prueba.

Answer 1

Se puede hacer con la ayuda de la $\color{blue}{Casorati-Weierstrass\ theorem}$ o de la $\color{blue} {Liouville's\ theorem, }$

Con la ayuda de $\color{blue}{Casorati-Weierstrass\ theorem}$

Supongamos $f$ es toda una función cuya imagen no es denso en $\mathbb{C}$. Entonces existe un número complejo $\alpha$ y un número de $s> 0$ tales que |$f(z)-\alpha|>s$ $\forall z \in \mathbb{C}$.

Escribir $f(z) =\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n$ y supongamos que hay infinitamente muchos distinto de cero términos en esta expansión. Entonces, para todos los $z \not=0$, vamos a $g(z)=f(1/z)$ .Vemos que g tiene una singularidad esencial en a $0$ por el Casorati-Weierstrass teorema de unos $z\ cerca de\ 0$ we have $|g(z)-\alpha|<s $ then$|f(1/z)-\alpha|<s$ Esta contradicción implica que el poder de expansión de la serie de $f$ puede tener sólo un número finito de términos. A continuación, el teorema fundamental del álgebra garantiza que $f\ is\ constant$. Esto contradice la hipótesis.

Con la ayuda de $\color{blue}{Liouville's\ theorem, }$

Supongamos que existe un número complejo $\alpha$ $s\in \mathbb{R^+}$ tal que $|f(z) - \alpha|>s, \forall z \in \mathbb{C}$. A continuación, la función de $g(z) = 1/(f(z) - \alpha)$ es entera y acotada, entonces por el teorema de Liouville, g es constante. Por lo tanto $f$ es constante, de nuevo contradice la hipótesis.

Answer 2

Si la imagen no densa, se perdería un pequeño disco. La inversión en el límite de que el disco iba a darle un no-constante delimitada toda la función contraria a la del Teorema de Liouville.

Answer 3

Para dar un poco más concreto de reformulación de Andreas respuesta del si $f(z)$ es holomorphic y su imagen excluye $B(\lambda, r)$ algunos $\lambda \in \mathbb{C}$, $g(z) = \frac{1}{f(z) - \lambda}$ es todo y $|g(z)| \le 1/r$, lo $g$ es constante, y por lo tanto, $f$ es.