¿Existe una regla en cadena para la integración?

Question

Conozco la regla de la cadena para los derivados. La forma en que la aplico, es deshacerse de "bits" específicos de una ecuación compleja en etapas, es decir, voy a derivar la $5$ raíz primera en la ecuación $(2x+3)^5$ y continuar con el resto.

Me pregunto si hay algo similar con la integración. Traté de integrar de esa manera $(2x+3)^5$ pero parece que no funciona. Bueno, funciona en la primera etapa, es decir, está bien para aumentar en la potencia de $6$ y dividir con $6$ para deshacerse del poder $5$ pero después, si aplicáramos la regla de la cadena, deberíamos multiplicar por la integral de $2x+3$ !, Pero no funciona así, sólo tenemos que multiplicar por $1/2$ y eso es todo.

Así que mi pregunta es, ¿existe la regla de la cadena para las integrales? Quiero poder calcular integrales de ecuaciones complejas tan fácilmente como lo hago con la regla de la cadena para las derivadas.

Answer 1

La "regla de la cadena" para la integración es la integración por sustitución.

$$\int_a^b f(\varphi(t)) \varphi'(t)\text{ d} t = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x) \text{ d} x $$

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Así que en su caso tenemos $f(x) = x^5$ y $\varphi(t) = 2t+3$ :

$$ \int (2t + 3)^5 \text{ d}t = \int {1 \over 2}\left((2t + 3)^5\cdot2\right) \text{ d}t = {1\over 2}\int x^5 \text{ d}x = {1\over 12} x^6 + C= {1\over 12} (2t+3)^6 + C$$

Answer 2

Si conocemos la integral de cada una de dos funciones, no se deduce que podamos calcular la integral de su compuesta a partir de esa información.

Ejemplo
$$ \int e^{-x}\;dx = -e^{-x} +C\\ \int x^2\;dx = \frac{x^3}{3} +C\\ $$ pero $$ \int e^{-x^2}\;dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\;\mathrm{erf}(x) + C $$ no es una función elemental.

Answer 3

Supongo que estás preguntando cómo hacer la integral

$$\int (2x+3)^5 \, dx$$

Yo utilizaría la sustitución:

$$u=2x+3 \\ du=2 \, dx$$

Así que su nueva integral es

$$\int \frac{u^5}2 \, du = \frac{u^6}{12} +C$$

Entonces sustituye $u$ con el original $2x+3$ para conseguir

$$\int \frac{u^5}2 \, du = \frac{u^6}{12} +C = \frac{(2x+3)^6}{12} +C$$

Si quieres ver cómo se relaciona esto con la regla de la cadena, toma la derivada de tu respuesta, y debería obtener la función "dentro" de la integral original.

$$F(x)=\frac{(2x+3)^6}{12} = f(g(x))$$ $$f(x)=\frac{x^6}{12} \, \, \, g(x)=2x+3 \\ f'(x)=\frac{x^5}2 \, \, \, g'(x)=2 \\$$

Utilizando la regla de la cadena obtenemos

$$F'(x) = f'(g(x))g'(x) = f'(2x+3)g'(x) = \frac{(2x+3)^5}2 (2) = (2x+3)^5$$

Answer 4

La regla de la cadena para la integración es básicamente $u$ -sustitución.

Answer 5

Para calcular las derivadas, utilizamos la regla de la cadena multiplicando por uno.

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{du}{du}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$

Del mismo modo, al integrar con la regla de sustitución, también multiplicamos por uno. He aquí un ejemplo concreto.

$$\begin{array}{lll} \displaystyle\int_{x=0}^{x=2}xe^{x^2}dx &=& \displaystyle\int_{x=0}^{x=2}xe^{x^2}\color{red}{dx}\cdot\frac{\frac{dx^2}{\color{red}{dx}}}{\frac{dx^2}{dx}}\\ &=&\displaystyle\int_{x=0}^{x=2}\frac{xe^{x^2}\color{red}{dx}\cdot\frac{dx^2}{\color{red}{dx}}}{\frac{dx^2}{dx}}\\ &=&\displaystyle\int_{x=0}^{x=2}\frac{xe^{x^2}dx^2}{2x}\\ &=&\displaystyle\int_{x=0}^{x=2}\frac{e^{x^2}dx^2}{2}\\ &=&\displaystyle\int_{u=0}^{u=4}\frac{e^{u}du}{2}\\ \end{array}$$ Dónde $u=x^2$ .

Obsérvese que el numerador de $\frac{\frac{dx^2}{dx}}{\frac{dx^2}{dx}}$ se interpreta como un cociente de diferenciales, mientras que el denominador se interpreta como una derivada (función).