¿Existe una forma sencilla de demostrar que $\text{GL}_n(R) \not\cong \text{GL}_m(R)$ ?

Question

Dejar $\mathbb{F}_{1}$ y $\mathbb{F}_{2}$ sean campos, y dejar que $n \geq 3$ y $m$ sean números naturales, se sabe que $\text{GL}_{m}(\mathbb{F}_{1})$ y $\text{GL}_{n}(\mathbb{F}_{2})$ son elementalmente equivalentes si y sólo si $m=n$ y $\mathbb{F}_{1} \equiv \mathbb{F}_{2}$ (como se demuestra en "Elementary Properties of Linear Groups" en la colección "The Metamathematics of Algebraic Systems - Collected Papers: 1936-1967").

Así, dado un campo $\mathbb{F}$ , si $n \neq m$ entonces $\text{GL}_{m}(\mathbb{F}) \not\equiv \text{GL}_{n}(\mathbb{F})$ y por lo tanto $\text{GL}_{m}(\mathbb{F}) \not\cong \text{GL}_{n}(\mathbb{F})$ .

Dejar $R$ sea un anillo conmutativo (con unidad), y dejando que $n, m \in \mathbb{N}$ sea tal que $n \neq m$ ¿existe una forma "algebraica" sencilla de demostrar que $\text{GL}_{m}(R)$ y $\text{GL}_{n}(R)$ no son isomorfos (como grupos)? ¿Existe una forma sencilla de demostrar en teoría de grupos que $\text{GL}_{m}(\mathbb{F}) \not\cong \text{GL}_{n}(\mathbb{F})$ para un campo $\mathbb{F}$ ?

Algunos casos especiales de este problema se mantienen trivialmente, por ejemplo en el caso en que $\mathbb{F}$ es finito, en cuyo caso $|\text{GL}_{m}(\mathbb{F})| \neq |\text{GL}_{n}(\mathbb{F})|$ .

Answer 1

Si el anillo es un campo $F$ con característica no igual a $2$ entonces no es difícil demostrar que el mayor $k$ con $C_2^k \le {\rm GL}(n,F)$ es $k=n$ .

Lo demostramos por inducción en $n$ . Desde $-1$ es el único elemento de orden $2$ en $F$ el resultado es válido para $n=1$ Así pues, supongamos que $n>1$ . Entonces $k>1$ , por lo que podemos elegir un elemento $x$ en este subgrupo con $x \ne -I_n$ . Entonces $x$ es conjugada a una matriz diagonal con $1$ s y $-1$ s en la diagonal, y su centralizador es isomorfo a ${\rm GL}(m,F) \times {\rm GL}(n-m,F)$ para algunos $m$ con $1 \le m < n$ . Ahora el resultado se sigue por inducción.

No sé si existe un argumento igualmente elemental para los campos de característica $2$ .

Answer 2

Dejemos que $G=GL_n(K)$ donde $K$ es un campo de característica no 2. Sea $A$ sea un subgrupo máximo de $G$ de exponente 2. Como todo elemento de orden 2 de $GL_n(K)$ es diagonalizable (con $1$ o $-1$ como valores propios) y como $A$ es abeliano, los elementos de $A$ son simultáneamente diagonalizables. Por lo tanto, podemos suponer que $A$ consiste en matrices con 1's y $-1$ en la diagonal. Por lo tanto, $A$ es isomorfo a la suma directa de $n$ copias de $\{1, -1\}$ y, por lo tanto, tiene un orden $2^{n}$ . Esto demuestra que $GL_n(K)$ determina $n$ . El mismo argumento sirve para $SL$ en lugar de $GL$ si $n \geq 2$ . (Acabo de darme cuenta de que esta misma respuesta, pero con un argumento diferente, se dio anteriormente).

He aquí una pregunta: Supongamos que las características no son 2. Puedo demostrar de forma bastante elemental que si la afirmación $SL_2(K) \simeq SL_2(L) \implies K \simeq L$ se mantiene, entonces para $n \geq 2$ La declaración $SL_n(K) \simeq SL_n(L) \implies K \simeq L$ retiene. Pero no sé cómo demostrar esto para $n=2$ en toda su generalidad. Por supuesto, podemos suponer que los grupos, es decir, los campos, son infinitos.

Por otro lado, utilizando cualquier elemento diagonal no central como parámetro, se puede definir el campo $K$ en el grupo $SL_2(K)$ como sigue. Sea $t_0$ sea uno de estos elementos. Sea $T=C_{SL_2(K)}(t_0) \simeq K^*$ (toroide). Podemos considerar $T$ como las matrices diagonales de grupo de determinante 1. Hay exactamente dos subgrupos de $SL_2(K)$ de la forma $\langle u^T\cup\{1\} \rangle$ para cualquier $1\neq u$ en el subgrupo, las matrices estrictamente triangulares superior e inferior, digamos $U$ y $V$ (unipotente) respectivamente. (Porque $x = (1+x/2)^2 - 1^2 - (x/2)^2$ para cualquier $x\in K$ ver más abajo). Ambos son isomorfos al grupo aditivo de $K$ . Elija uno de ellos, por ejemplo $U$ . Denotemos los elementos de $T$ por $t(x)$ donde $x\in K^*$ y elementos de $U$ por $u(y)$ donde $y\in K$ . Entonces $T$ actúa sobre $U$ como sigue $u(y)^{t(x)} = u(x^2y)$ . De este modo, obtenemos el subcampo de $K$ generados por las plazas. Pero como $x = (1+x/2)^2 - 1^2 - (x/2)^2$ para cualquier $x\in K$ el subcampo generado por los cuadrados es $K$ mismo. Así, el campo $K$ se puede definir con un parámetro, a saber $t_0$ . (Excepto que el grupo no conoce el elemento unitario 1 del campo, sólo obtenemos una versión afín de un campo, algo así como $K$ con la suma y la multiplicación ternaria $xy^{-1}z$ para fijar 1 del campo $K$ necesitamos un parámetro más, pero esto es irrelevante para nosotros). Se deduce que en el grupo $SL_2(L)$ ambos campos $K$ y $L$ son definibles.

En particular, si el automorfismo toma un elemento no central diagonalizable de $SL_2(K)$ a un elemento no central diagonalizable de $SL_2(L)$ , entonces tendremos necesariamente $K\simeq L$ . Esto será así si podemos distinguir elementos diagonalizables de $SL_2(K)$ a partir de sus elementos semisimples no diagonalizables (es decir, diagonalizables en el cierre algebraico) de forma teórica de grupos.