Aquí es Bartle la prueba de la Merluza del Teorema se encuentra en "Una Teoría Moderna de la Integración". Creo que hay un error en la línea resaltada:
El Teorema: $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ es de calibre integrable si y sólo si es de calibre integrable en $[a,x]\ \forall x\in [a,b)$ y el límite de $\lim_{x\to b}\int_a^xf$ es finito. En ese caso \begin{equation}\int_a^bf=\lim_{x\to b^-}\int_a^xf\end{equation}
El problema está en la $(\impliedby)$ prueba de:
Deje $(c_n)$ ser estrictamente creciente secuencia con $c_0=a$, $c_n\to b$. Como $\lim_{n\to +\infty}\int_{c_0}^{c_n}f=\lim_{x\to b^-}\int_a^xf=L\in \mathbb{R}$ y $c_n\to b$, $\exists r\in \mathbb{N}$ así que \begin{equation}\forall x\in (c_r,b)\ \left|\int_a^xf-L\right|<\epsilon\text{ and }\left|f(b)\right|(b-c_r)<\epsilon\end{equation} Por la integrabilidad en $[c_{n-1},c_n]$, no existe un indicador $\delta_n$$[c_{n-1},c_n]$, de modo que si $\dot{\mathcal{P}}_n<<\delta_n$, \begin{equation}\left|S(f,\dot{\mathcal{P}}_n)-\int_{c_{n-1}}^{c_n}f\right|<\frac{\epsilon}{2^n}\end{equation} Sin pérdida de generalidad, \begin{align*}\delta_1(c_0)&\le \frac12(c_1-c_0)\tag{i}\\ \delta_{n+1}(c_n)&\le \min\left\{\delta_n(c_n),\frac12(c_n-c_{n-1}),\frac12(c_{n+1}-c_n)\right\}\tag{ii}\\ \delta_n(x)&\le \min\left\{\frac12(x-c_{n-1}),\frac12(c_n-x)\right\}\text{ for }x\in (c_{n-1},c_n)\tag{iii} \end{align*} Se define un indicador en $[a,b]$ por \begin{equation}\delta(x)=\begin{cases}\delta_n(x)&\text{ if, }x\in [c_n,c_{n+1})\\ b-c_N&\text{ if, }x=b\end{casos}\end{equation} Deje $\mathcal{P}=\left\{a=x_0<...<x_m=b\right\}$ partición $[a,b]$ con etiquetas de $t_i$, de modo que $\dot{\mathcal{P}}<<\delta$. Como $b\not\in\cup_{n=0}^{\infty}[c_n,c_{n+1})=[a,b)$, esto obliga a $b$ a ser una etiqueta de $[x_{m-1},b]$. Pero entonces, como $t_m=b$, \begin{equation}c_r=b-\delta(b)<x_{m-1}\end{equation} Deje $s\in \mathbb{N}$ ser el entero más pequeño con $x_{m-1}\le c_s$, de modo que $r\le s$. Si $k=1,...,s-1$, entonces la condición (iii) implica que el punto de $c_k$ debe ser una etiqueta de la sub-intervalo en $\mathcal{P}$ que lo contiene. ...
Mi argumento: Supongamos $c_k\in [x_p,x_{p+1}]$. Pero, $[x_p,x_{p+1}]$ también pueden contener otros puntos de la secuencia (un número finito). Deje $c_{q},c_{q+1},...,c_k,c_{k+1},...,c_l$ ser todos estos puntos. Supongamos $t_p$ es la etiqueta de $[x_p,x_{p+1}]$. Si $t_p\neq c_q,c_{q+1},...,c_l$ y $t_p>c_k$$t_p\in (c_i,c_{i+1})$$c_i\ge c_k$. La condición (iii) y el hecho de que $\dot{\mathcal{P}}<<\delta$ implica que $$c_k> t_p-\delta(t_p)=t_p-\delta_i(t_p)\ge t_p-\frac{t_p-c_i}2=\frac{t_p+c_i}2\ge \frac{c_k+c_k}2=c_k$$ lo cual es una contradicción. Del mismo modo, si $t_p<c_k$. Lo que han demostrado es que la etiqueta debe ser un punto de la secuencia. Pero ¿por qué tiene que ser $c_k$ como Bartle dice?. Este hecho es crucial para la prueba. Bartle, a continuación, continúa:
El uso de la derecha-a la izquierda del procedimiento asumimos $c_0,c_1,...,c_{s-1}\in \mathcal{P}$.
Que no se puede hacer (creo). De hecho, considerar el caso simple donde los únicos puntos de la secuencia en $[x_p,x_{p+1}]$ $c_k$ $c_{k+1}$ . La etiqueta $t_p$ debe ser uno de $c_k,c_{k+1}$. Supongo que es se $c_k$. A continuación,$c_k\in \mathcal{P}$$c_{k+1}\in (c_k,x_{p+1})$. ¿Cómo es posible, entonces, demostrar $c_{k+1}$ es la etiqueta de $[c_k,x_{p+1}]$?. $c_k$ parece igualmente un fuerte candidato para esta.
EDIT: yo también creo que hay una brecha en "$b\not\in\cup_{n=0}^{\infty}[c_n,c_{n+1})=[a,b)$, esto obliga a $b$ a ser una etiqueta de $[x_{m-1},b]$." ¿Por qué no puede un punto de $c_n$ ser la etiqueta?
