Todos los juegos determinó + ZF incoherente

Question

Deje $A$ ser un conjunto no vacío, $T\subset A^\mathbb{N}$ un vacío poda de árboles y $X\subset [T]$. El juego de $G_{A}(T,X)$ se juega de la siguiente manera: el Jugador I, y el Jugador II turnos jugando $a_{0},a_{1},\dots$, de modo que $(a_{0},\dots,a_{n})\in T$ para cada n. Me gana el fib $(a_{n})\in X$

Deje $AD^*$ ser la afirmación de que todos los juegos son determinados. Esto significa que para cualquier triple a $(A,T,X)$ donde $A$ es un conjunto no vacío, $T$ un vacío poda de árboles en $A$$X\subset [T]$, el juego de $G_{A}(T,X)$ es determinado. $AD$ es la declaración de que cualquier juego de la forma $G_{\omega}(T,X)$ es determinado. Obviamente tenemos $AD^*\Rightarrow AD$.

Es $ZF+AD^*$ incoherente?

Mi pensamiento: Sí. $AD^*$ implica que todos cerrados y abiertos todos los juegos son determinados, lo que es equivalente (en ZF) el Axioma de Elección. Pero el Axioma de Elección nos da un indeterminado de juego.

Yo en ningún lugar se encontró este resultado, por lo tanto, es correcto lo que he hecho?

Answer 1

Sí, esto es incoherente, y su argumento es una manera de demostrar esto.

De hecho, $\mathsf{AD}^*$ es una exageración, y podemos demostrar que hay un indeterminado juego con $A=\omega_1$. Para ver esto, observe que no hay un indeterminado juego en enteros (y se hacen), o bien $\mathsf{AD}$ mantiene, por lo $\omega_1$ no se inyecte en $\mathbb R$. (La razón de esto es que, de lo contrario podemos encontrar una multitud innumerable de reales sin el conjunto perfecto de la propiedad, pero esto viola $\mathsf{AD}$.)

Ahora pensemos en el juego donde el jugador empieza por desempeña un contable ordinal $\alpha$. A partir de ese punto, ignoramos jugador que se mueve, y, poco a poco, jugando números naturales, II debe reproducir una secuencia de codificación de un buen orden de $\omega$ en el tipo de orden $\max(\omega,\alpha)$. Obviamente, jugador que no tiene estrategia ganadora aquí. Si este juego es determinado, entonces el jugador II tiene una estrategia ganadora a partir de la cual podemos definir fácilmente una inyección de $\omega_1$ a $\mathbb R$. Esta es una contradicción.

El argumento es antigua, que se remonta a Mycielski en 1964 (que también se percataron de su argumento).

Por el camino, tenga en cuenta que nosotros no presentan un determinado indeterminado de juego, pero en lugar de una dicotomía: o hay un indeterminado juego de este tipo, o de lo contrario, este otro juego es indeterminado. En un sentido, esto es inevitable, ya que es coherente que todos los $\mathsf{OD}$ juegos en los ordinales se determinan. Esta es también una vieja observación, notó por primera vez por Harrington y Kechris en 1980. Ha sido generalizada en varios de manera significativa por Woodin, Neeman, y otros, mediante la consideración de los juegos más (por ejemplo, los juegos de la longitud de la $\omega_1$).