Los logaritmos de los logaritmos de Graham número, es el resultado práctico?

Question

El otro día me preguntaron cómo representan realmente a los grandes números. Yo medio en broma contestó que acaba de tomar el logaritmo en varias ocasiones:

$$\log \log \log N$$ makes almost any number $$ N a la mano. (Suponga base 10).

Pero la aplicación de esta a Graham Número probablemente zip para hacer a mano (una mano el número es definido como un número menos de mi o de su edad en años). A continuación, sólo seguir aplicando logaritmos. Nadie puede estimar o incluso calcular la frecuencia para aplicar un $\log$ (de base 10, o 3 o $e$ o cualquier útil de la base) para llegar a una práctica número?

Answer 1

Acaba de llegar a $3 \uparrow\uparrow\uparrow 3$, que es una potestad de la torre de $3 \uparrow 3 \uparrow 3=3^{27}\ \ =7625597484987\ \ 3$'s de ser una práctica número tarda $7625597484985$ aplicaciones de la $\log$ para llegar a $3^3=27$. El logaritmo es lamentablemente inadecuado para este propósito.

El concepto de $\log^*$ es un paso en la dirección correcta, pero aún no es suficiente. Tenemos $\log^* 3 \uparrow\uparrow\uparrow 3=7625597484985$, lo que no es útil, pero a $\log \log^* 3 \uparrow\uparrow\uparrow 3=27$ es. Lamentablemente tenemos un montón más uparrows a ir. Probablemente necesitemos definir $\log^{**}$ como el número de veces que se aplican $\log^*$ para obtener la mano, a continuación,$\log^{***}$, etc. Sospecho que necesitamos otro (varios) capas-definir $\log^\&$ como el número de estrellas que usted tiene que poner en $\log$ para obtener un práctico número de una sola vez. No tengo idea de cómo hacer el cálculo, o incluso qué tipo de estructura de datos es la adecuada.

Answer 2

Nadie puede estimar o incluso calcular la frecuencia para solicitar un registro (de base 10, o 3 o e o útiles base) para llegar a una práctica número?

Graham número $G$ puede ser escrito como una exteremely de altura exponencial de la torre de $3$s:

$$G \ =\ 3\uparrow\uparrow height $$

Con $3$ como la base de los logaritmos, que está pidiendo la $height$ de esta torre (o más bien $height - 2$, para un práctico de número de $27$). Ahora, una fórmula para la altura exacta se puede encontrar utilizando la siguiente propiedad de Knuth flechas:

$$3\uparrow^x y = 3\uparrow^{x-1}(3\uparrow^x(y-1)) \ \ \ \ (x \ge 2, y \ge 2)$$

La aplicación de este repetidamente da

$$3\uparrow^x 3 \\ =3\uparrow^{x-1}(3\uparrow^{x}2) \\ =3\uparrow^{x 2}(3\uparrow^{x-1}(3\uparrow^{x}2 - 1))\\ =3\uparrow^{x 3}(3\uparrow^{x 2}(3\uparrow^{x-1}(3\uparrow^{x}2 - 1) - 1)) \\ \cdot\\ \cdot\\ =3\uparrow^2( 3\uparrow^3 (3\uparrow^4 ( \ \cdots \ (3\uparrow^{x-1}(3\uparrow^{x}2 - 1) - 1) \cdots -1 ) ) ) $$

Por lo tanto, la práctica número 27 es el resultado de la partida con $G$ y la aplicación de la base-3 $\log$ exactamente $height-2$ tiempos, donde $$height = 3\uparrow^3 (3\uparrow^4 ( \ \cdots \ (3\uparrow^{g_{63}-1}(3\uparrow^{g_{63}}2 - 1) - 1) \cdots -1 )) $$

NB: UNA muy crudo el límite inferior de $height$ está dado por
$$3\uparrow^{g_{63}} 3 \ = \ 3\uparrow^{g_{63}-1}(3\uparrow^{g_{63}-1}3) \ \ggg \ 3\uparrow^{2}(3\uparrow^{g_{63}-1}3)$$

es decir,

$$height \ \ggg \ 3\uparrow^{g_{63}-1}3 $$

que sólo tiene uno menos de flecha de $G$ sí!