Demostrar la asignación abierta teorema mediante el uso máximo del módulo de principio

Question

La asignación abierta teorema dice un no constante de la analítica de la función de mapas abiertos a los conjuntos de bloques abiertos.

El máximo módulo de principio dice que si $f$ un no constante de la analítica de la función en un conjunto conectado a$D\subset\mathbb{C}$, $|f|$ no alcanza un máximo local en a $D$.

Es conocido que una aplicación de la asignación abierta teorema de la prueba de la máxima módulo principio. Pero, ¿y los otros?. Podemos utilizar el máximo de módulo principio(posiblemente además de algunos otros resultados) para demostrar la asignación abierta teorema?

La razón por la que estoy interesado en esta cuestión es porque después de ver la prueba en wikipedia, personalmente he encontrado la idea en esta prueba de algo "oculto", que no es tan intuitivo (al menos para mí).

Answer 1

Lo siento por la respuesta tardía. He aquí una prueba de la asignación abierta teorema de asumir la máxima módulo principio.

En primer lugar, tenemos el "mínimo módulo de principio". Es decir, si $f$ no es una constante de la analítica de la función en un conjunto conectado a $D \subset \mathbb{C}$, e $f$ no tiene ceros en $D$, $| f |$ no puede alcanzar un mínimo en $D$. La prueba sigue trivialmente aplicando el máximo módulo principal para la función de $1/f$ que es analítica en $D$.

Ahora supongamos $D \subset \mathbb{C}$ es abierto y conectado, y $f$ no es una constante de la analítica de la función en $D$. Deje $U \subset D$ ser abierto, y deje $w_0 \in f(U)$, decir $w_0=f(z_0)$$z_0 \in U$. Debemos demostrar que no es un disco centrado en$w_0$, que está contenida en $f(U)$.

Elija $t>0$, de modo que $\overline {D_t(z_0)} \subset U$ $f(z) \neq w_0$ cualquier $z \in \overline {D_t(z_0)}$ otros de $z_0$. Deje $m=inf \{|f(z)-w_0| : |z-z_0|=t \} > 0 $. Supongamos $|w-w_0| < m/3$, y los que hay no $z \in U$ tal que $f(z)=w$. A continuación, la función de $g(z)=f(z)-w$ es analítica, no constante, y no tiene ceros en el abierto conectado set $D_t(z_0)$, por lo que el mínimo módulo de principio muestra que $g$ no alcanzar un mínimo de módulo en $D_t(z_0)$. Sin embargo, $g$ no alcanzar un mínimo de módulo en el conjunto compacto $ \overline {D_t(z_0)} $, por lo que este mínimo módulo debe ocurrir en el límite del círculo definido por $|z-z_0|=t$. Pero si $|z-z_0|=t$, luego

$|g(z)|=|f(z)-w| \geq |f(z)-w_0| - |w_0-w| \geq 2m/3 $, y

$|g(z_0)| = |w_0-w| < m/3 < 2m/3$.

Esto le da una contradicción ya que el $z_0$ es, obviamente, en el interior del disco en cuestión. Por lo tanto, $f(z)=w$ algunos $z \in D_t(z_0)$, e $D_{m/3}(w) \subset f(U)$, mostrando que el $f(U)$ abierto y prueba el teorema.

Answer 2

Creo que la máxima principio implica la asignación abierta teorema.

Supongamos $f$ no es la constante de la función continua que satisface el máximo principio de la propiedad. Si la asignación abierta teorema no es cierto, entonces $f$ mapas de un punto interior a $x$ de un pequeño barrio cerrado $D$ hasta el punto de $f(x)$ que está en la frontera de $f(D)$. A continuación, utilizando la traducción de $g$ a componer con $f$, para asegurarse de $|g(f(x)|$ tiene el máximo de los módulos de más de $D$. Podemos hacerlo porque en $f(D)$ es compacto, así que no hay salidas de $z_0$ $f(D)$ tal que dist($f(x), z_0$) es igual al máximo de la distancia de $f(x)$ a todos los puntos en $f(D)$, entonces considere el $g(z)=z-z_0$. Ahora $g(f(x))$ alcanza su máximo punto de $D$$x$, por hipótesis, $g(f(x))$ es la constante de la función en $D$ desde el máximo principio se conservan bajo la traducción. Por lo tanto, $f$ es una función constante en $D$.

Finalmente, Utilizando el método típico (como la de Lebesgue lema) para la ruta de acceso-connectness de un dominio, podemos decir que $f$ es constante en su dominio.

Answer 3

No se puede probar la asignación abierta teorema de la máxima módulo principio. Dado que el máximo módulo principio no es una herramienta que es adecuado para la comprobación de la asignación abierta teorema. El máximo módulo principio no es lo suficientemente sofisticado para entender la topología del plano complejo. Es simplemente una declaración acerca de la $|f|$, no se trata de $f$ sí. El máximo módulo de principio vale para un montón de mapas, por ejemplo, el producto de $f$ con cualquier unimodular función, que no tienen razón de ser abierto. Etc., etc.

Voy a tratar de explicar la idea de la OMT prueba en su lugar. Elegir un punto de $z_0$ en el dominio de $f$. Considerar la serie de $f(z)=f(z_0)+a_k(z-z_0)^k+\dots$ donde $k$ es el primer índice después de $0$ tal que $a_k\ne 0$. Deje $F(z)=f(z_0)+a_k(z-z_0)^k$. El mapa de $F$ es abierto, porque es sólo un poder de $z$ compuesto con algunos cambios. (El poder de la $z$ puede ser escrito explícitamente en coordenadas polares, para comprobar que está abierto.)

Al $z$ es lo suficientemente cerrado para $z_0$, $|f(z)-F(z)|$ es muy pequeño, ya que se compone de los poderes de $z-z_0$ superior $k$. Esto nos permite usar el teorema de Rouché a la conclusión de que los valores alcanzados por $F$ también será alcanzado por $f$ (omito los detalles de las estimaciones aquí). Ya que la imagen de $F$ contiene un barrio de $f(z_0)$, también lo hace la imagen de $f$.