¿Cómo se convierte un campo vectorial en coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas?

Question

Tengo un campo vectorial en términos de $\mathbf{\hat i}$ , $\mathbf{\hat j}$ y $\mathbf{\hat k}$ ,

$$\mathbf{F} = x\mathbf{\hat i} + y\mathbf{\hat j} + z\mathbf{\hat k}$$

¿Cómo lo convierto al sistema de coordenadas esféricas para que los vectores unitarios sean $\mathbf{\hat r}$ , $\boldsymbol{\hat \theta}$ y $\boldsymbol{\hat \phi}$ ?

Sé que tenemos las siguientes relaciones:

$$\begin{align} F_r &= \sqrt{{F_x}^2 + {F_y}^2 + {F_z}^2}\\ F_\theta &= \tan^{-1} \frac{F_y}{F_x}\\ F_\phi &= \cos^{-1} \frac{F_z}{F_r} \end{align}$$

Y las inversas:

$$\begin{align} x &= r\cos{\theta}\sin{\phi}\\ y &= r\sin{\theta}\sin{\phi}\\ z &= r\cos{\phi} \end{align}$$

Quiero tener el vector en la forma

$$\begin{align} \mathbf{F} &= F_{r}\mathbf{\hat r} + F_{\theta}\boldsymbol{\hat \theta} + F_{\phi}\boldsymbol{\hat \phi} \end{align}$$

Por lo tanto, al final conseguiré

$$\begin{align} \mathbf{F} &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\mathbf{\hat r} + \tan^{-1} \frac{y}{x}\boldsymbol{\hat \theta} + \cos^{-1} \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\boldsymbol{\hat \phi} \end{align}$$

Entonces exprese $x$ , $y$ y $z$ en términos de $r$ , $\theta$ y $\phi$ .

¿He entendido bien las relaciones? ¿O hay otras operaciones (regla de la cadena, etc.) que he pasado por alto? ¿O es que simplemente se me ha ido la olla?

Estoy buscando el proceso de cómo se llegó a esto (de Wikipedia):

$$\begin{bmatrix}\boldsymbol{\hat\rho} \\ \boldsymbol{\hat\theta} \\ \boldsymbol{\hat\phi} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{\hat x} \\ \mathbf{\hat y} \\ \mathbf{\hat z} \end{bmatrix}$$

para que $\mathbf{F} = x\mathbf{\hat i} + y\mathbf{\hat j} + z\mathbf{\hat k} = F_{r}\mathbf{\hat r} + F_{\theta}\boldsymbol{\hat \theta} + F_{\phi}\boldsymbol{\hat \phi}$ .

Answer 1

Primero, $\mathbf{F} = x\mathbf{\hat i} + y\mathbf{\hat j} + z\mathbf{\hat k}$ convertido a coordenadas esféricas es simplemente $\mathbf{F} = \rho \boldsymbol{\hat\rho}$ . Esto se debe a que $\mathbf{F}$ es un campo vectorial que apunta radialmente hacia fuera, por lo que apunta en la dirección de $\boldsymbol{\hat\rho}$ y el vector asociado a $(x,y,z)$ tiene una magnitud $|\mathbf{F}(x,y,z)| = \sqrt{x^2+y^2+z^2} = \rho$ la distancia desde el origen hasta $(x,y,z)$ .

También ha preguntado sobre dónde

$$\begin{bmatrix}\boldsymbol{\hat\rho} \\ \boldsymbol{\hat\theta} \\ \boldsymbol{\hat\phi} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{\hat x} \\ \mathbf{\hat y} \\ \mathbf{\hat z} \end{bmatrix}$$

viene. Veamos primero el caso más sencillo de 2D. Para un punto $(x,y)$ ayuda imaginar que estás en un círculo centrado en el origen. En este caso, las dos direcciones fundamentales en las que te puedes mover son perpendicular al círculo o a lo largo del mismo. Para la dirección perpendicular utilizamos el vector unitario radial que apunta hacia fuera $\mathbf{\hat{r}}$ . Para la otra dirección, moverse a lo largo del círculo significa (instantáneamente) que se está moviendo tangente a él, y tomamos el vector unitario en este caso para ser $\boldsymbol{\hat\theta}$ apuntando en sentido contrario a las agujas del reloj. Por ejemplo, supongamos que estamos en el punto $(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})$ . Entonces, en el gráfico siguiente, $\mathbf{\hat{r}}$ está en rojo y $\boldsymbol{\hat\theta}$ está en amarillo.

Nótese que esto significa que, a diferencia de los vectores unitarios en coordenadas cartesianas, $\mathbf{\hat{r}}$ y $\boldsymbol{\hat{\theta}}$ no son constantes, sino que cambian en función del valor de $(x,y)$ .

Ahora, ¿qué hay de una fórmula para $\mathbf{\hat{r}}$ ? Si nos movemos perpendicularmente al círculo que estamos manteniendo $\theta$ fijada en la representación de coordenadas polares $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ . El vector $\mathbf{\hat{r}}$ es el vector unitario en la dirección de este movimiento. Si interpretamos $r$ como tiempo, tomando la derivada con respecto a $r$ nos dará el vector velocidad, que sabemos que apunta en la dirección del movimiento. Por lo tanto, queremos el vector unitario en la dirección de $\frac{d}{dr} (r \cos \theta, r \sin \theta) = (\cos \theta, \sin \theta)$ . Esto ya es un vector unitario, por lo que $\mathbf{\hat{r}} = \cos \theta \mathbf{\hat{x}} + \sin \theta \mathbf{\hat{y}}$ . Del mismo modo, moverse en sentido contrario a las agujas del reloj a lo largo del círculo implica mantener $r$ fijada en la representación de coordenadas polares $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ . Así, para encontrar $\boldsymbol{\hat\theta}$ tomamos $\frac{d}{d\theta} (r \cos \theta, r \sin \theta) = (-r \sin \theta, r \cos \theta)$ . No se trata necesariamente de un vector unitario, por lo que hay que normalizarlo. Al hacerlo, obtenemos $\boldsymbol{\hat\theta}= -\sin \theta \mathbf{\hat{x}} + \cos \theta \mathbf{\hat{y}}$ . En forma de matriz, esto es $\begin{bmatrix} \mathbf{\hat{r}} \\ \boldsymbol{\hat\theta}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{\hat{x}} \\ \mathbf{\hat{y}} \end{bmatrix}$ .

Pasando a coordenadas esféricas, para un punto dado $(x,y,z)$ Imagina que estás en la superficie de una esfera. Las tres direcciones fundamentales son perpendicular a la esfera, a lo largo de una línea de longitud o a lo largo de una línea de latitud. La primera corresponde a $\boldsymbol{\hat\rho}$ el segundo a $\boldsymbol{\hat\theta}$ y la tercera a $\boldsymbol{\hat{\phi}}$ . (Esto es usando la convención en la página de Wikipedia, que tiene $\theta$ y $\phi$ invertido de lo que tienes). Así, para encontrar $\boldsymbol{\hat\rho}$ , $\boldsymbol{\hat\theta}$ y $\boldsymbol{\hat{\phi}}$ tomamos la derivada de la representación de las coordenadas esféricas $(\rho \sin \theta \cos \phi, \rho \sin \theta \sin \phi, \rho \cos \theta)$ con respecto a $\rho$ , $\theta$ y $\phi$ respectivamente, y luego normalizar cada una de ellas. Ahí es donde la matriz

$$\begin{bmatrix}\boldsymbol{\hat\rho} \\ \boldsymbol{\hat\theta} \\ \boldsymbol{\hat\phi} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{\hat x} \\ \mathbf{\hat y} \\ \mathbf{\hat z} \end{bmatrix}$$

viene de.

Como señala Henning Makholm, una forma de ver lo que estamos haciendo aquí es que estamos rotando el $\mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}}, \mathbf{\hat{z}}$ vectores. La matriz de transformación puede considerarse, por tanto, una matriz de cambio de base. Esto significa que también (y de forma más general) se puede convertir $\mathbf{F} = x\mathbf{\hat i} + y\mathbf{\hat j} + z\mathbf{\hat k}$ a coordenadas esféricas mediante $$\begin{bmatrix} \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \\ \cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & - \sin \theta \\ - \sin \phi & \cos \phi & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \\ \cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & - \sin \theta \\ - \sin \phi & \cos \phi & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \rho \sin \theta \cos \phi \\ \rho \sin \theta \sin \phi \\ \rho \cos \theta \end{bmatrix}$$ $$= \begin{bmatrix} \rho \sin^2 \theta \cos^2 \phi + \rho \sin^2 \theta \sin^2 \phi + \rho \cos^2 \theta \\ \rho \sin \theta \cos \theta \cos^2 \phi + \rho \sin \theta \cos \theta \sin^2 \phi - \rho \sin \theta \cos \theta \\ - \rho \sin \theta \sin \phi \cos \phi + \rho \sin \theta \sin \phi \cos \phi + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \rho \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}.$$ Así que obtenemos $\mathbf{F} = \rho \boldsymbol{\hat\rho} + 0 \boldsymbol{\hat\theta} + 0 \boldsymbol{\hat{\phi}} = \rho \boldsymbol{\hat{\rho}}$ tal y como argumentamos al principio.

Answer 2

Las coordenadas esféricas no funcionan así: $$\mathbf{F} = F_{r}\mathbf{\hat r} + F_{\theta}\mathbf{\hat \theta} + F_{\phi}\mathbf{\hat \phi}$$ Eso sería cierto si el sistema de coordenadas es lineal, pero las coordenadas esféricas no lo son. Tus fórmulas son correctas (excepto que tienes que añadir $\pi$ a la arctangente si $x$ es negativo, y añadir algún mecanismo específico para que $\theta=\pm \pi/2$ cuando $x=0$ ), pero no tiene sentido expresar el resultado como una combinación lineal de vectores base. En no existe tal cosa como "vectores unitarios de coordenadas esféricas".

En su lugar, escriba el resultado simplemente como un triple $$(r,\theta,\phi)=\left(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2},\;\; \tan^{-1} \frac{y}{x},\;\; \cos^{-1} \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\right)$$

Answer 3

De todas las preguntas anteriores, he intentado ninguna, de ellas sigue el principio del libro "Engineering Electromagnetics" de Hayt y Buck. Usted ve cada vez que una transformación en los vectores se va a hacer, hay una necesidad de que el producto punto vectorial para obtener la proyección de ese eje al eje requerido y más tarde todos ellos se suman, mientras que la adición de los sombreros o las direcciones del vector unidad. Permítame usar su fórmula: $$\begin{bmatrix} \hat{\rho} \\ \hat{\theta} \\ \hat{\phi} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \hat{x} \\ \hat{y} \\ \hat{z} \\ \end{bmatrix}$$ . Ahora para $\vec{F}=\mathbf{x}\hat{x}+\mathbf{y}\hat{y}+\mathbf{z}\hat{z}$ Tenemos la tendencia a determinar las proyecciones del $\hat{\rho}, \hat{\theta}, \hat{\phi}$ con $\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$ . $$\vec{F}\cdot\hat{\rho}=\displaystyle \left[\mathbf{x}\hat{x}+\mathbf{y}\hat{y}+\mathbf{z}\hat{z}\displaystyle\right] \cdot \displaystyle \left[ \sin\theta\cos\phi \hat{x} + \sin\theta\sin\phi \hat{y}+ \cos\theta \hat{z} \displaystyle\right]$$ $$=\sin\theta\cos\phi \mathbf{x} + \sin\theta\sin\phi \mathbf{y}+ \cos\theta \mathbf{z}$$ .

$$\vec{F}\cdot\hat{\theta}=\displaystyle \left[\mathbf{x}\hat{x}+\mathbf{y}\hat{y}+\mathbf{z}\hat{z}\displaystyle\right] \cdot \displaystyle \left[ \cos\theta\cos\phi \hat{x} + \cos\theta\sin\phi \hat{y}- \sin\theta \hat{z} \displaystyle\right]$$ $$=\cos\theta\cos\phi \mathbf{x} + \cos\theta\sin\phi \mathbf{y}- \sin\theta \mathbf{z}$$ .

$$\vec{F}\cdot\hat{\phi}=\displaystyle \left[\mathbf{x}\hat{x}+\mathbf{y}\hat{y}+\mathbf{z}\hat{z}\displaystyle\right] \cdot \displaystyle \left[ \cos\theta\cos\phi \hat{x} + \cos\theta\sin\phi \hat{y}- \sin\theta \hat{z} \displaystyle\right]$$ $$=\cos\theta\cos\phi \mathbf{x} + \cos\theta\sin\phi \mathbf{y}- \sin\theta \mathbf{z}$$ . Sumando estos y poniendo los vectores unitarios, tenemos: $$\vec{F}=\left(\sin\theta\cos\phi \mathbf{x} + \sin\theta\sin\phi \mathbf{y}+ \cos\theta \mathbf{z}\right)\vec{\rho}+\left(\cos\theta\cos\phi \mathbf{x} + \cos\theta\sin\phi \mathbf{y}- \sin\theta \mathbf{z}\right) \vec{\theta}+\left(\cos\theta\cos\phi \mathbf{x} + \cos\theta\sin\phi \mathbf{y}- \sin\theta \mathbf{z}\right) \vec{\phi}.$$ Por favor, NO SUSTITUYA $\mathbf{x}$ o $\mathbf{y}$ o $\mathbf{z}$ . Se dan como valores del caso general. En realidad, sólo se utilizan con problemas particulares con valores especificados. De hecho, $x=r\cos\theta\sin\phi$ , $y=r\sin\theta\sin\phi$ y $z=r\cos\phi$ se utilizaron realmente en la derivación de las expresiones para la transformación de esférico a cartesiano considerando el caso de r=1 o en nuestras notaciones $\rho=1$ dentro de las tres dimensiones de una parte de una esfera (1/8)de su volumen total.

Answer 4

Utilizando la geometría diferencial se quiere cambiar la base $\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}$ por la normalización de $\frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{\partial \theta },\frac{\partial}{\partial \phi }$ basado en la relación

$$(x,y,z)=r(\cos \phi \sin \theta ,\sin \phi \sin \theta ,\cos \theta )$$

para $(r,\theta ,\phi )\in[0,\infty )\times [0,\pi)\times [0,2\pi)$ . Ahora, en general, para un cambio de base de un sistema de coordenadas $a=(a_1,\ldots ,a_n)$ a un sistema de coordenadas $b=(b_1,\ldots ,b_n)$ tienes que

$$\frac{\partial}{\partial a_k}=\sum_{j=1}^n\frac{\partial b_j}{\partial a_k}\frac{\partial}{\partial b_j}$$

A partir de ahí se puede calcular la matriz de cambio de coordenadas de cartesianas a esféricas para un campo vectorial, recordando que las coordenadas esféricas que estamos utilizando no están normalizadas. Haciendo todos los cálculos se obtiene la matriz de cambio de coordenadas dada.

De hecho, tienes eso

$$\begin{bmatrix} F_{\hat r}\\ F_{\hat \theta } \\ F_{\hat \phi } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \phi \sin \theta & \sin \phi \sin \theta &\cos \theta \\ \cos \phi \cos \theta &\sin \phi \cos \theta &-\sin \theta \\ -\sin \phi &\cos \phi &0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_x\\F_y\\F_z \end{bmatrix}$$

para

$$F=F_x\frac{\partial}{\partial x}+F_y\frac{\partial}{\partial y}+F_z\frac{\partial}{\partial z}=F_{\hat r}\frac{\partial}{\partial \hat r}+F_{\hat \phi }\frac{\partial}{\partial \hat \phi} +F_{\hat \theta}\frac{\partial}{\partial \hat \theta }$$

donde $\frac{\partial}{\partial \hat r}=\frac{\partial}{\partial r}$ , $\frac{\partial}{\partial \hat \theta } =\frac1{r}\frac{\partial}{\partial \theta }$ y $\frac{\partial}{\partial \hat \phi } =\frac1{r\sin \theta }\frac{\partial}{\partial \phi }$ son las coordenadas esféricas normalizadas.