Definición de "bien definido" en matemáticas

Question

He encontrado este término "bien definido" en muchos lugares de las matemáticas como conjunto bien definido, función bien definida, grupo bien definido, etc. ¿Cuáles son los contextos en los que podemos hablar de bien definido y qué significa en cada contexto?

Answer 1

El término bien definido (en oposición a simplemente definido ) se utiliza típicamente cuando una definición parece depender de una elección, pero al final no lo hace.

En la mayoría de los casos (pero no en todos), esto se aplica a la definición de una función $f\colon A\to B$ en términos de dos funciones dadas $g\colon C\to A$ y $h\colon C\to B$ : Para $a\in A$ queremos definir $f(a)$ escogiendo primero un elemento $c\in C$ con $g(c)=a$ y luego dejar que $f(a)=h(c)$ . Hay dos problemas con esto: En primer lugar, debemos asegurarnos de que para cada uno de ellos $a\in A$ existe $c\in C$ con $g(c)=a$ en otras palabras: $g$ deben ser superficiales. Pero también debemos asegurarnos de que la elección de $c$ es irrelevante, es decir: Siempre que $g(c)=g(c')$ también debe ser cierto que $h(c)=h(c')$ . Sólo si $g,h$ cumplir estas condiciones la construcción anterior definirá en realidad una función $f\colon A\to B$ . Repito: Después de esto, $f$ es de hecho definido . La definición en sí misma no se convierte en una "mejor" definición diciendo que $f$ es bien definido . En lugar de eso, diciendo que $f$ está bien definido sólo afirma el hecho (esperemos que demostrable) de que las condiciones descritas anteriormente se mantienen para $g,h$ y por eso hemos dado una definición de $f$ por aquí. Si las condiciones no se mantienen, $f$ no está de alguna manera "menos definido", no está definido en absoluto.

Answer 2

Hay una noción adicional, muy útil, de buena definición, que no se escribió (hasta ahora) en las otras respuestas, y es la noción de buena definición en una clase de equivalencia/espacio cociente.

Tome una relación de equivalencia $E$ en un plató $X$ . Entonces podemos formar el cociente $X/E$ (conjunto de todas las clases de equivalencia). Tome otro conjunto $Y$ y una función $f:X\to Y$ . Si $f(x)=f(y)$ siempre que $x$ y $y$ pertenecen a la misma clase de equivalencia, entonces decimos que $f$ es bien definido en $X/E$ lo que intuitivamente significa que depende sólo de la clase.

Más rigurosamente, lo que sucede es que en este caso podemos ("bien") definir una nueva función $f':X/E\to Y$ como $f'([x])=f(x)$ .

Como ejemplo, tomemos como ejemplo $X$ el conjunto de todos los polígonos convexos, y tomar como $E$ " que tiene el mismo número de bordes. El número de diagonales sólo depende del número de aristas, por lo que es una función bien definida en $X/E$ .

Answer 3

La frase "bien definido" se utiliza en muchos contextos diferentes y, por lo general, significa que algo se define de una manera que corresponde a alguna "definición" dada en el contexto específico.

Como un simple ejemplo: si digo:

dada la función $f(x)=\sqrt{x}=y$ de tal manera que $y^2=x$

esta función no está bien definida. Una función está bien definida sólo si especificamos el dominio y el codominio, y si a cualquier elemento del dominio le corresponde sólo un elemento del codominio.

Así que.., $f(x)=\sqrt{x}$ está "bien definido" si lo especificamos, como ejemplo, $f : [0,+\infty) \to \mathbb{R}$ (porque en $\mathbb{R}$ el símbolo $\sqrt{x}$ es, por definición, la raíz cuadrada positiva) , pero, en el caso $ f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ no está bien definido ya que puede tener dos valores para el mismo $x$ y se convierte en "bien definido" sólo si tenemos alguna regla para elegir uno de estos valores (por ejemplo, el raíz cuadrada principal ).

Como otro ejemplo: si digo:

considerar el espacio vectorial $\mathbb{R}^n$

este no es un espacio bien definido, si no sé cuál es el campo sobre el que se da el espacio vectorial. $\mathbb{R}^n$ sobre el campo de los reales es un espacio vectorial de dimensión $n$ pero sobre el campo de los números racionales es un espacio vectorial de dimensiones incontablemente infinitas.

También para los conjuntos la definición puede dar algunos problemas, y podemos tener conjuntos que no están bien definidos si no especificamos el contexto. Como ejemplo, consideremos el conjunto

$D=\{x \in \mathbb{R}: x \mbox{ is a definable number}\}$

Dado que el concepto de ''número real definible'' puede ser diferente en diferentes modelos de $\mathbb{R}$ este conjunto está bien definido sólo si especificamos cuál es el modelo que estamos usando ( ver: Números reales definibles )

Obviamente, en muchas situaciones, el contexto es tal que no es necesario especificar todos estos aspectos de la definición, y basta con decir que lo que estamos definiendo está "bien definido" en tal contexto.

Answer 4

En términos más simples, $f:A \to B$ está bien definido si $x = y$ implica $f(x) = f(y)$ . A primera vista, esto parece un poco ridículo porque pensamos en $=$ como si significara exactamente lo mismo, pero no es realmente así como se usa.

Por ejemplo, sabemos que $\dfrac 13 = \dfrac 26.$

• La función $f:\mathbb Q \to \mathbb Z$ definido por $f\left(\dfrac xy \right) = x+y$ no está bien definido porque $f\left(\dfrac 13 \right) = 4$ y $f\left(\dfrac 26 \right) = 8.$
• La función $g:\mathbb Q \to \mathbb Z$ definido por $g\left(\dfrac mn \right) = \sqrt[n]{(-1)^m}$ no está bien definido porque $g\left(\dfrac 13 \right) = \sqrt[3]{(-1)^1}=-1$ y $g\left(\dfrac 26 \right) = \sqrt[6]{(-1)^2}=1.$

Esto es importante. Una función que no está bien definida, en realidad ni siquiera es una función.

Un ejemplo de una función bien definida sería la función $h:\mathbb Z_8 \to \mathbb Z_{12}$ definido por $h(\bar x) = \overline{3x}$ . Podemos razonar que \begin {alinear} \bar x = \bar y \text { (En $\mathbb Z_8$ ) } & \implies x \equiv y \pmod 8 \\ & \implies 3x \equiv 3y \pmod {24} \\ & \implies 3x \equiv 3y \pmod {12} \\ & \implies \overline {3x} = \overline {3y} \text { (En $\mathbb Z_{12}$ )} \\ & \implies h( \bar x) = h( \bar y) \text { (En $\mathbb Z_{12}$ ).} \end {alinear}

Por lo tanto $h$ es una función bien definida.

Answer 5

Puede diferir dependiendo del contexto, pero supongo que es en un contexto en el que dices algo sobre el conjunto, la función o lo que sea y dices que está bien definido.

Por ejemplo:

Deje que $f(x)$ ser una función definida en $\mathbb R^+$ de tal manera que $f(x)>0$ y $(f(x))^2=x$ Entonces $f$ está bien definido.

Esto significa que la declaración sobre $f$ puede tomarse como una definición, lo que formalmente significa es que existe exactamente una función de este tipo (y por supuesto es la raíz cuadrada).