Puede $(\Bbb N,\leq)$ tener un $\aleph_0$ -¿teoría categórica (en un lenguaje más amplio)?

Question

Una de las consecuencias más agradables de la compacidad es que no hay ningún enunciado en la lógica de primer orden cuyo contenido " $\leq$ es un bien ordenado". Así que podemos demostrar que hay una estructura contable $(M,\leq)$ que son elementalmente equivalentes a $\Bbb N$ pero no es isomorfo a él.

¿Qué hay de añadir $S,+,\cdot$ y $0$ ? Bueno. Tampoco es muy bueno. La teoría de la estructura $(\Bbb N,0,S,+,\cdot,\leq)$ tiene $2^{\aleph_0}$ modelos contables no isomórficos. Esto demuestra que ninguna de estas adiciones nos acerca a encontrar un $\aleph_0$ -teoría categórica para $\Bbb N$ .

Pregunta. ¿Existe un lenguaje de primer orden finito (o contable si es necesario) que incluya $\leq$ y un $\aleph_0$ -Teoría categórica $T$ cuya estructura contable es de orden isomorfo a $(\Bbb N,\leq)$ ?

Answer 1

Mi teoría del modelo está un poco oxidada, pero creo que no existe tal teoría.

Desde $T$ es contable, es $\aleph_0$ -categórica si y sólo si $|D_n(T)| < \aleph_0$ para todos $n < \omega$ , donde $D_n(T)$ es el conjunto de todas las $T$ -tipos con $n$ variables libres.

Dejemos que $\varphi_m(x) \equiv \exists^{=m} y(y \le x \wedge y \ne x)$ sea la fórmula (de primer orden) que afirma que $x$ tiene exactamente $m$ predecesores. Desde $T \cup \{\exists x\varphi_m(x) \}$ es consistente para cada $m$ podemos ampliar $\{\varphi_m(x)\}$ a un tipo completo $p_m(x) \in D_1(T)$ . Y además $p_m(x) \ne p_{m'}(x)$ siempre que $m \ne m'$ desde $\exists x[\varphi_m(x) \wedge \varphi_{m'}(x)]$ es claramente incoherente.

Así que $\{ p_m(x) : m < \omega \} \subseteq D_1(T)$ y $|D_1(T)| \ge \aleph_0$ . Así que $T$ no puede ser $\aleph_0$ -categórico.

Answer 2

Tome un número contable de funciones y relaciones sobre $\mathbb{N}$ . Añade un símbolo para cada uno, junto con todas las frases que son verdaderas en $\mathbb{N}$ bajo la interpretación natural. Dejemos que la teoría resultante sea $T$ . De forma habitual podemos utilizar el Teorema de la compacidad y el Loweheim-Skolem descendente para encontrar un modelo contable de $T$ que no es isomorfo a $\mathbb{N}$ .

Answer 3

(Después de que Clive respondiera, me di cuenta de que la respuesta es sencilla. Voy a publicar mi propia versión, que es en cierto modo una versión generalizada y ampliada de la respuesta de André, como señalé en los comentarios de la misma).

Teorema. Supongamos que $M$ es una estructura contable para un lenguaje contable $\cal L$ que cada elemento en $m$ es definible, entonces no hay extensión $\cal L\subseteq L'$ de manera que la teoría de $\operatorname{Th}_{\cal L'}(M)$ es $\aleph_0$ -categórico.

Prueba. Dado que cada elemento de $M=\{m_n\mid n\in\Bbb N\}$ es definible, añadir a $\cal L$ un número contable de símbolos constantes $c_n$ y axiomas que incluyen $\varphi_n(c_n)$ (donde $\varphi_n$ es la fórmula que define $m_n$ ), y el diagrama completo de $M$ en $\cal L$ .

Entonces $M$ es un modelo de la lengua expandida y de la teoría más amplia. Considere cualquier $\cal L'$ que amplía $\cal L$ con los símbolos constantes añadidos y los axiomas. Por muchos teoremas existe un modelo incontable de $T=\operatorname{Th}_{\cal L'}(M)$ , elige $m$ en el modelo incontable que no es ninguno de los símbolos constantes, y considerar el submodelo elemental generado por $m$ . Entonces este modelo satisface la misma teoría que $M$ pero no es isomorfo a él por razones obvias.

Por último, olvídate de los símbolos constantes adicionales. $\qquad\square$