Como se observó, por el M de Weierstrass de la prueba, la serie converge uniformemente. Vamos
$$f(x)=\sum_1^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}.$$
Las funciones de $\sin(nx)/n^2$ son continuos, por lo que su "suma" $f(x)$ es continua. (En general, si no tenemos uniforme de convergencia, pero sólo pointwise convergencia, la suma no necesita ser continua.)
El resultado anterior acerca de la continuidad está causando cierta confusión. Se basa en un teorema que dice, o debería decir, que si $(f_n(x))$ es una secuencia de funciones continuas que converge uniformemente a $f(x)$ en un intervalo, entonces $f(x)$ es continua.
Para aplicar el teorema para una serie de $\sum_{n \ge 1} g_n(x)$, solo dejamos $f_n(x)=\sum_{k=1}^n g_k(x)$. No hay nada nuevo en esto: la convergencia de una serie infinita es definido en términos de lo que ocurre con las sumas parciales como $n$ va al infinito.
El hecho adicional de que se necesita es que una serie uniformemente convergente en un intervalo finito puede integrarse término a término en dicho intervalo. Así que necesitamos para calcular el $\int_0^\pi \frac{\sin(nx)}{n^2} dx$ y "agregar".
Más explícitamente,
$$\int_0^\pi \left(\sum_{n\ge 1} \frac{\sin(nx)}{n^2}\right)\,dx=\sum_{n \ge 1}
\left(\int_0^\pi \frac{\sin(nx)}{n^2}\,dx\right).$$
(La de arriba de intercambio del orden de integración y suma está permitido, porque de la convergencia uniforme. Puede fallar cuando no tenemos convergencia uniforme.)
La integración es sencilla, para $\sin(nx)$ $-\dfrac{\cos(nx)}{n}$ como una antiderivada.
Así
$$\int_0^\pi \frac{\sin nx}{n^2}dx=\frac{1}{n^3}(-\cos(n\pi)+1).$$
Si $n$ es incluso, $\cos(n\pi)=1$, por lo que la integral es $0$, y no contribuye en nada a la última suma.
Si $n$ es impar, entonces $\cos(n\pi)=-1$, por lo que la integral es $\dfrac{2}{n^3}$.
Desde $n$ es impar, vamos a $n=2m-1$. Entonces
$$\int_0^\pi \frac{\sin nx}{n^2}dx=\frac{2}{(2m-1)^3}.$$
Llegamos a la conclusión de que
$$\int_0^\pi f(x) \;dx=\sum_1^\infty \frac{2}{(2m-1)^3}.$$
(En tu post, la última variable de la suma es $n$, pero eso no hace ninguna diferencia.)
Hecho interesante: La suma que conseguimos es estrechamente relacionado a $\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^3}$. Esta última suma, también conocido como $\zeta(3)$, demostró ser irracional por Apery acerca de $30$ años atrás, el uso de un elemental (pero no fácil) argumento. Fue uno de esos raros los resultados matemáticos que incluso se informó en la prensa.
