Sin embargo, otra suma que implican los coeficientes binomiales

Question

Deje $k,p$ ser enteros positivos. Hay una forma cerrada para las sumas

$$\sum_{i=0}^{p} \binom{k}{i} \binom{k+p-i}{p-i}\text{, or}$$

$$\sum_{i=0}^{p} \binom{k-1}{i} \binom{k+p-i}{p-i}\text{?}$$

(donde "forma cerrada" debe ser interpretado como una representación que está libre de sumas de dinero, de los coeficientes binomiales, o cualquier otras funciones hipergeométricas).

Answer 1

Vamos a examinar la primera suma. Me parece que no puede encontrar una forma cerrada, pero hay algo muy bonito, con la generación de la serie. Son simples y simétricos con respecto a las variables $p$$k$.

Resultado: Su suma es $k^{th}$ coeficiente de $\frac{(1+x)^{p}}{\left(1-x\right)^{p+1}},$ y también el $p^{th}$ coeficiente de $\frac{(1+x)^{k}}{\left(1-x\right)^{k+1}}.$

La Generación de la Serie de la variable $p$

Considere la posibilidad de

$$F(x)=\sum_{p=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{p}\binom{k}{i}\binom{k+p-i}{p-i}x^{p}.$$

Cambiar el orden de la suma, esto se convierte en

$$F(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\binom{k}{i}\sum_{p=i}^{\infty}\binom{k+p-i}{p-i}x^{p},$$

y, a continuación, el desplazamiento de la segunda suma tenemos

$$F(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\binom{k}{i}x^{i}\sum_{p=0}^{\infty}\binom{k+p}{p}x^{p}.$$ Since the rightmost sum is $\frac{1}{(1-x)^{k+1}}$, vemos que la generación de la serie es $$F(x)=\frac{1}{(1-x)^{k+1}}\sum_{i=0}^{\infty}\binom{k}{i}x^{i}=\frac{\left(1+x\right)^{k}}{(1-x)^{k+1}}$$

por el teorema del binomio.

La Generación de la Serie de la variable $k$:

Vamos a considerar la otra generación de la serie con respecto a la variable $k$. Vamos

$$G(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{p}\binom{k}{i}\binom{k+p-i}{p-i}x^{k}.$$

Entonces

$$G(x)=\sum_{i=0}^{p}\sum_{k=i}^{\infty}\binom{k}{i}\binom{k+p-i}{p-i}x^{k}=\sum_{i=0}^{p}x^{i}\sum_{k=0}^{\infty}\binom{k+i}{i}\binom{k+p}{p-i}x^{k}.$$

Dividiendo los coeficientes binomiales en factoriales, esto es

$$=\sum_{i=0}^{p}x^{i}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(k+i)!}{k!i!}\frac{(k+p)!}{(k+i)!(p-i)!}x^{k}=\sum_{i=0}^{p}\frac{x^{i}p!}{i!\left(p-i\right)!}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(k+p\right)!}{k!p!}x^{k}.$$

En consecuencia,

$$G(x)=\frac{(1+x)^{p}}{\left(1-x\right)^{p+1}}.$$

Comentarios: no estoy seguro de por qué la generación de la serie tiene esta simetría. Tal vez usted puede utilizar esta propiedad para saber más acerca de la suma/generación de la serie.

Espero que ayude,

Answer 2

Yo derivada de la siguiente desigualdad (confirmado numéricamente): para cualquier $0 < s < 1/2$, $$ \sum\limits_{i = 0}^p {{k \elegir i}{k + p - i \elegir p - i}} \le \frac{1}{{(1 - 2s)^k }}\bigg(\frac{{1 - s}}{s}\bigg)^p. $$ Dado $0 < s < 1/2$, vamos a $X$ ser un binomio$(k,s)$ variable aleatoria, y $Y$ un binomio$(k+p-X,t)$ variable aleatoria, donde $t=s/(1-s) \, (\in (0,1))$. Entonces, por la ley de total probabilidad, $$ {\rm P}(X + Y = p) = \sum\limits_{i = 0}^p {{\rm P}(X + Y = p|X = i){\rm P}(X = i)} = \sum\limits_{i = 0}^p {{\rm P}(S = p - i|X = i){\rm P}(X = i)}. $$ Tomando nota de que $$ {\rm P}(X = i) = {k \elegir i}s^i (1-s)^{k-i} $$ y $$ {\rm P}(S = p - i|X = i) = {k + p - i \elegir p - i}t^{p - i} (1 - t)^k , $$ y el uso de $$ \frac{s}{{(1 - s)t}} = 1, $$ tenemos $$ {\rm P}(X + Y = p) = (1 - s)^k (1 - t)^k t^p \sum\limits_{i = 0}^p {{k \elegir i}{k + p - i \elegir p - i}} . $$ Finalmente, a partir de ${\rm P}(X + Y = p) \leq 1$ y $$ (1 - s)^k (1 - t)^k t^p = (1 - 2s)^{k} \bigg(\frac{s}{{1 - s}}\bigg)^p , $$ de ello se sigue que $$ \sum\limits_{i = 0}^p {{k \elegir i}{k + p - i \elegir p - i}} \le \frac{1}{{(1 - 2s)^k }}\bigg(\frac{{1 - s}}{s}\bigg)^p. $$

Answer 3

El uso de un sistema de álgebra computacional puedo conseguir

En[114]:= Sum[ Binomial[k, i] Binomial[k+p-i,p-i],{i,0,p}]

[114]= Binomial[k + p, p] Hypergeometric2F1[-k, -p, -k - p, -1]

y

En[115]:= Sum[Binomial[k - 1, i] Binomial[k + p - i, p - i], {i, 0, p}]

[115]= Binomial[k + p, p] Hypergeometric2F1[1 - k, -p, -k - p, -1]