Cuando puedo salir con aproximar el valor esperado de una relación como la relación de los valores esperados

Question

En realidad, soy un estudiante de ingeniería así que no soy muy bueno con la probabilidad y estaba esperando que alguien puede ser capaz de ayudar con lo siguiente:

Así que tengo una relación de discretas variables aleatorias. Quiero ser capaz de saber cuando puedo conseguir lejos con la aproximación de su valor esperado como una relación de los valores esperados. Por ejemplo, para el caso continuo, me topé con la siguiente formulación de una expansión en series de Taylor

$\text{E}[x/y]=\text{E}[x]/ \text{E}[y]- \text{Cov}[x ,y]/ \text{E}[y]^2 + \text{E}[x] \text{Var}[y]/ \text{E}[y]^3$

Aplica esto para discretas variables aleatorias? si no, ¿cuál es su análogo de expresión?

gracias! hadi

Answer 1

Que en último término no tiene sentido para mí. Deje $E[x] = \mu_x$$E[y] = \mu_y$. A partir de la serie de Taylor de $x/t$ alrededor $t=\mu_y$, $x/y = x/\mu_y - x(y -\mu_y)/\mu_y^2 + x (y - \mu_y)^2/\mu_y^3 + \ldots $ resultando en $E[x/y] = \mu_x/\mu_y - {\rm Cov}[x,y]/\mu_y^2 + E[x (y - \mu_y)^2]/\mu_y^3 + \ldots$, pero $E[x (y - \mu_y)^2] \ne \mu_x {\rm Var}[y]$ si $x$ $(y - \mu_y)^2$ no están correlacionados.

En cualquier caso, no tiene nada que ver con la discreta vs continua: es tan válido para las variables aleatorias como es continua. El punto principal es que para tener una buena aproximación (aparte de que el pasado problemático término) te quiero $y - E[y]$ a (con alta probabilidad), pequeña en comparación a $|E[y]|$. Se necesitan especialmente para evitar la $y$ cerca de 0, lo que podría hacer que $E[x/y]$ ser indefinido.

Answer 2

Un simple, en general, una buena aproximación puramente en términos de las expectativas no parecen alcanzables. Por ejemplo, supongamos $\epsilon$ ser un muy pequeño número positivo, y deje $X$ $Y$ ser independientes, cada uno tomando el valor de $\epsilon$ con una probabilidad de $1/2$, e $1$ con una probabilidad de $1/2$. A continuación, $E(X/Y)$ es muy grande, pero los diversos momentos que son bastante razonables.

Posiblemente algunos razonable aproximaciones son posibles si todos los valores de $Y$ están bien lejos de $0$.

Answer 3

Primero de todo, $X$ $Y$ deberán ser independientes. Ahora, el problema es que, en general,$E[1/y] \neq 1/E[y]$. Sin embargo, esta es una aproximación razonable al $y$ se concentra en torno a algunos "grandes" de valor.