¿Hay otra manera de resolver esta ecuación cuadrática?

Question

$$\frac { 4 }{ x^{ 2 }-2x+1 } +\frac { 7 }{ x^{ 2 }-2x+4 } =2$$

Pasos:

$$\frac { 4(x^{ 2 }-2x+4) }{ (x^{ 2 }-2x+4)(x^{ 2 }-2x+1) } +\frac { 7(x^{ 2 }-2x+1) }{ (x^{ 2 }-2x+4)(x^{ 2 }-2x+1) } =\frac { 2(x^{ 2 }-2x+4)(x^{ 2 }-2x+1) }{ (x^{ 2 }-2x+4)(x^{ 2 }-2x+1) } $$

$$4(x^{ 2 }-2x+4)+7(x^{ 2 }-2x+1)=2(x^{ 2 }-2x+4)(x^{ 2 }-2x+1)$$

$$11x^{ 2 }-22x+23=2x^{ 4 }-8x^{ 3 }+18x^{ 2 }-20x+8$$

Puedo seguir con todos los pasos, pero hay una forma más elegante para llegar a la solución de esta ecuación? Parece como si me sigue yendo de la forma que soy, voy a golpear a un callejón sin salida. Ninguna solución real, por favor. Las sugerencias son mucho mejor apreciado.

Answer 1

Para simplificar cálculos un poco más, yo pondría $y =(x-1) ^ 2$, por lo que la ecuación se convierte en $$ \frac{4}{y}+\frac{7}{y+3}=2$$ que usted puede fácilmente resolver para encontrar los valores de $y$ y finalmente los correspondientes valores de $x$.

Answer 2

Ajuste $t = x ^ 2-2 x + 1$ da $$ \frac{4}{t}+\frac{7}{t+3}=2$$ $4(t+3)+7t=2t(t+3)$ $ $$ 2t ^ 2 + $6t-4t-7t - 12 = 0 del $ $$ 2t ^ 2-5t - 12 = 0$ $$(2t+3)(t-4)$ = 0$

Answer 3

Por la inspección, los dos denominadores diferentes por $3$, así como los numeradores hacer, dando a entender que para establecer $$\frac44+\frac77=2,$$ podemos establecer

$$x^2-2x+1=(x-1)^2=4,$$ es decir, $$\color{verde}{x=-1\lor x=3}.$$

Las otras dos raíces son un poco más difícil de alcanzar. Pero podemos observar que cuando la expansión

$$\frac4z+\frac7{z+3}-2=0,$$ vamos a obtener condiciones $-2z^2$ y $12$, de modo que el producto de la $z$ raíces es de $-6$, y

$$(x-1)^2=-\frac32,$$ es decir, $$\color{verde}{x=1-i\sqrt{\frac32}\lor de x=1+i\sqrt{\frac32}}.$$