¿Hasta qué punto es válida la "sustitución mínima" o el "acoplamiento mínimo" para el potencial vectorial EM?

Question

En todos los libros de texto (y artículos al respecto) sobre QFT y el límite clásico de las ecuaciones relativistas, uno se encuentra con la "sustitución mínima" para introducir el potencial magnético en la ecuación (Schrödinger/Dirac/Klein-Gordon) mediante: $$ \hat{p}^2 \rightarrow (\hat{p} - e \hat{A})^2$$

El enunciado sugiere que se trata de una aproximación para campos electromagnéticos pequeños (o al menos no fuertemente acoplados). Entiendo que se eligió de tal forma que la fuerza "clásica" de Lorentz se recupera del Hamiltoniano, pero no por qué exactamente esta forma y no otra que lleva al mismo resultado.

1. ¿Hasta qué punto es válida esta "aproximación"?

2. ¿Cómo se puede mejorar esta "sustitución mínima"? ¿Existe una expresión más general, intuitivamente algo así como una serie del potencial vectorial?

Answer 1

Como se explica en Wikipedia La razón por la que este procedimiento se denomina "acoplamiento mínimo" es que ignora todo excepto el primer momento multipolar (es decir, la carga) de la partícula cargada. Pero mientras te ciñas a los monopolos, es una expresión exacta, no una aproximación.

Se puede obtener a partir del Lagrangiano para una partícula cargada relativista en un campo electromagnético:

$$L = -\frac{mc^2}{\gamma} + q\mathbf{v}\cdot\mathbf{A} - q\phi$$

tomando $\frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}}$ . El segundo término que produce el ajuste del momento corresponde al término magnético de la ley de fuerza de Lorentz, $\mathbf{F} = q\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ .

Como alternativa, puede obtenerlo en la página $U(1)$ transformación gauge en la que se basa la electrodinámica cuántica. Para preservar la invariancia gauge, un poco de matemática muestra que el operador derivativo tiene que cambiar de $D_\mu = \partial_\mu$ a

$$D_\mu = \partial_\mu - ieA_\mu$$

Dado que el operador de momento es $p_\mu = -iD_\mu$ (en unidades donde $\hbar = 1$ ), se convierte en

$$p_\mu \to p_\mu - eA_\mu$$

Answer 2

Es aproximado si te refieres a un potencial vectorial de fuerza externa $A_{ext}$ (Lagrangiano $\propto j\cdot A_{ext}$ ) porque no tiene en cuenta la fuerza de resistencia a la radiación. Y es parcialmente erróneo si te refieres al campo propio (el campo $A$ creados con este mismo cargo). Para hacerlo bien, descartan (mediante renormalizaciones) las contribuciones de autoacción y dejan las contribuciones de interacción a las soluciones. En caso de interacción no mínima incluso el descarte no ayuda a reparar las soluciones.

Término no mínimo en el Lagrangiano como $\propto \sigma_{\mu \nu}F_{\mu\nu}$ tampoco presenta problemas para los campos externos $F_{ext}$ pero no es renormalizable en el enfoque de la autoacción.

Las renormalizaciones se realizan perturbativamente y dan lugar a soluciones correctas (expansiones). Una explicación muy simplificada de lo que hacemos mal y por qué las renormalizaciones pueden funcionar es la siguiente ici . Creo que la estructura interna (momentos multipolares) puede tenerse razonablemente en cuenta en el marco de interacción en lugar de autoacción ansatz. Aún no he terminado de desarrollar el enfoque correspondiente.

EDIT: No se "sigue" de la invariancia gauge sino que se queja con ella, por supuesto. El "principio" de invariancia gauge local reproduce el término de autoacción erróneo, la mayor parte del cual se elimina posteriormente mediante renormalizaciones. Sin renormalizaciones, esta "expresión exacta" produce basura.