Deje $A$ ser un anillo y considerar la posibilidad de la libre módulos $A^{\oplus n}$, $A^{\oplus k}$, con $n,k\in \mathbb{N}$. Puede $A^{\oplus n}$ ser isomorfo a $A^{\oplus k}$ si $k\neq n$? Gracias de antemano por la ayuda.
Respuestas
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No, si el anillo es conmutativo, sí, si el anillo es no conmutativa.
La forma más fácil contraejemplo es el endomorfismo anillo de $R$ $V=F^{(\omega)}$ donde $F$ es un campo y $F^{(\omega)}$ denota una suma directa de countably muchas copias de $F$ (como espacio vectorial). Vamos a homomorphisms actuar en la izquierda, por lo $V$ se convierte en una izquierda $R$-módulo.
A continuación, $R\cong R^2$ a la izquierda de los módulos, porque $$R^2\cong\operatorname{Hom}_F(V,V\oplus V)\cong\operatorname{Hom}_F(V,V).$$
Un teorema de A. L. S. Esquina se dice que por cada $k>0$ existe una (no conmutativa) anillo de $R$ tal que $R^m\cong R^n$ ( $m,n>0$ ) como a la izquierda módulos si y sólo si $m\equiv n\pmod{k}$.
Si el anillo de $A$ es conmutativa (con la unidad), luego tomar un ideal maximal $P$; luego de $A^m\cong A^n$ es de la siguiente manera $(A/P)^m\cong(A/P)^n$ $A/P$- módulos. La invariancia de la dimensión de espacios vectoriales hace llegar a la conclusión de que $m=n$.
Anillos de $R$ con la propiedad de que $R^m=R^n$ a la izquierda de los módulos, se dice que el invariante de la base número (a la izquierda).
Krish
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Un anillo de $A$ se dice que (a la derecha) invariante de la base de la propiedad (IBP) si para cualesquiera enteros $s, t \geq 0$,
$$ A^{\oplus s} \cong^{\oplus t} \Rightarrow s = t $$
donde los de arriba isomorfismo es como el bien $A$ módulos.
Cualquier no-cero anillo conmutativo, a la izquierda Noetherian anillo, semi-anillo local satisface IBP. El siguiente enlace puede ser útil: Cohn, P. M. - Algunas observaciones sobre el invariante de la base de la propiedad. Topología de 5 de 1966 215-228.
