(USAJMO)Encontrar el entero soluciones:$ab^5+3=x^3,a^5b+3=y^3$

Question

Encontrar el entero soluciones: $$a·b^5+3=x^3,a^5·b+3=y^3$$ Este es el primer problema de hoy en día USAJMO (ha terminado),que sólo encuentran un trivial resultado que $x\equiv y \pmod6$$abxy≠0 \pmod 3$.

Gracias de antemano!

Answer 1

Si $3 \mid a$,$3\| (a^5b+3)=y^3$, una contradicción. Por lo tanto $3\nmid a$. Del mismo modo $3 \nmid b$, lo $3 \nmid x, y$. Tenga en cuenta que si $3 \nmid n$,$n^3 \equiv \pm 1 \pmod{9}$. Por lo tanto $x^3-3, y^3-3 \equiv 5, 7 \pmod{9}$, por lo que

$$1\equiv(ab)^6 \equiv (x^3-3)(y^3-3) \equiv 4, 7, 8 \pmod{9}$$

Llegamos a una contradicción, por lo que no hay entero de soluciones.