Mínimo de entradas necesarias para especificada probabilidad de ganar la lotería

Question

En una lotería, 1/10 de los 50 000 000 entradas a dar un premio.

¿Cuál es la mínima cantidad de billetes de uno debe comprar para tener al menos un 50% de probabilidad de ganar?

Estaría muy contento si pudiera explicar su metodología a la hora de resolver esto. Por favor, considere esto como una tarea si se quiere.

Answer 1

Yo debería preguntar lo que sus pensamientos están tan lejos en esto. Este problema está muy estrechamente relacionado con el "problema del cumpleaños". La forma más fácil para hacer frente a estos problemas es contar con las posibles maneras de ganar o perder. Normalmente uno de ellos es mucho más fácil de hacer que el otro, así que la clave es encontrar el adecuado. Antes de entrar en el cálculo real, vamos a empezar con algunas heurísticas.

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Heurística: Vamos a $n$ el número total de entradas y $m$ el número de boletos ganadores. En este caso,$n = 50\,000\,000$$m = 5\,000\,000$. Al $n$ es muy grande, a continuación, la compra de múltiples distinguibles de los tickets es casi el mismo que el muestreo con reemplazo de la población de los boletos.

Supongamos que, en lugar de tener que comprar $k$ independiente tickets, compramos un billete, miró para ver si era un ganador y, a continuación, regresó a la lotería. Nosotros, a continuación, repita este procedimiento en cada sorteo es independiente de todos los anteriores. Entonces la probabilidad de ganar después de la compra de $k$ de las entradas es de sólo $$ \Pr( \text{ganamos} \mid \text{compró $k$ boletos} ) = 1 - \left(\frac{n-m}{n}\right)^k . $$

Para nuestro caso, entonces, el lado derecho es$1 - (9/10)^k$, por lo que nos propusimos este igual a $1/2$ y resolver para $k$ a fin de obtener el número de entradas.

Pero, en realidad estamos muestreo sin reemplazo. A continuación, vamos a ir a través del desarrollo, con el punto es que la heurística de arriba son más que suficiente para el presente problema y muchos otros similares.

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Hay $50\,000\,000$ entradas. De estos $5\,000\,000$ son de ganancia y $45\,000\,000$ están perdiendo. Buscamos

$$ \Pr(\text{ganamos}) \geq 1/2 \>, $$

o, de manera equivalente,

$$ \Pr(\text{perdemos}) \leq 1/2 . $$

La probabilidad de que perdemos es simplemente la probabilidad de que se mantenga ninguno de los boletos ganadores. Deje $k$ el número de entradas en la compra. Si $k = 1$,$\Pr(\text{we lose}) = 45\,000\,000 / 50\,000\,000 = 9/10 \geq 1/2$, por lo que no hacer. Si elegimos dos entradas, a continuación, hay $45\,000\,000 \cdot 44\,999\,999$ formas de elegir los dos perdiendo entradas y hay $50\,000\,000 \cdot 49\,999\,999$ formas de elegir cualquiera de las dos entradas. Así,

$$ \Pr( \text{perdemos} ) = \frac{45\,000\,000 \cdot 44\,999\,999}{50\,000\,000 \cdot 49\,999\,999} \approx 0.9^2 = 0.81. $$

Vamos a generalizar ahora. Deje $m$ el número de boletos ganadores y $n$ el número total de entradas, como antes. Entonces, si estamos de compra $k$ entradas,

$$ \Pr(\text{perdemos}) = \frac{(n-m) (n-m-1) \cdots (n-m-k+1)}{n (n-1) \cdots (n-k+1)} . $$

Sería tedioso, pero ahora podemos empezar a enchufar en los valores de $k$ hasta llegar a la probabilidad por debajo de $1/2$. Podemos usar un "truco", aunque, para acercarse a la respuesta, especialmente cuando se $n$ es muy grande y $m$ es relativamente pequeña con respecto a las $n$.

Tenga en cuenta que $\frac{n-m-k}{n-k} \leq \frac{n-m}{n}$ todos los $k < m < n$. Por lo tanto

$$ \Pr(\text{perdemos}) = \frac{(n-m) (n-m-1) \cdots (n-m-k+1)}{n (n-1) \cdots (n-k+1)} \leq \left(1 - \frac{m}{n} \right)^k , $$

y así tenemos que resolver la ecuación de $\left(1 - \frac{m}{n} \right)^k = \frac{1}{2}$$k$. Pero,

$$ k = \frac{\log \frac{1}{2}}{\log (1 - \frac{m}{n})} \>, $$

y así, cuando la $m/n = 1/10$, obtenemos $k \approx 6.58$.

Así, $k = 7$ entradas debe hacer el truco. Si usted lo enchufa en la exacta ecuación anterior, tendrás que

$$ \Pr( \text{ganamos} \mid \text{k=7} ) \aprox 52.2\% $$