Ejemplos de $\pi_1 (X) = \mathbb{Z}$

Question

Quiero saber algunos ejemplos de espacios topológicos cuyo grupo fundamental es isomorfo al conjunto de números enteros.

En primer lugar, claro que lo sé $\mathbb{S}^1$, y su deformación se retracte de, $\mathbb{R}^2 - \{ 0, 0\}$, $\mathbb{C}^1 - \{0 \}$, etc, son isomorfo al conjunto de números enteros.

Y, por supuesto, desde el teorema de Van kampen, adjuntando simplemente espacios conectados, o por cuña suma de simpily conectado espacio para $\mathbb{S}^1$, etc, podemos produce $\mathbb{Z}$.

Me puede dar algunos otros ejemplos de eso?

Answer 1

Tomar el bucle espacio de $\Omega(S^2)$.

Answer 2

Un ejemplo muy interesante es el pseudocircle, que es el finito espacio topológico $V=\{P_1,P_2,L_1,L_2\}$ cuando la abra conjuntos son aquellos subconjuntos $U$ que si $P_1\in U$ o $P_2\in U$$L_1$$L_2$$U$. Mi notación es sugerente; se puede considerar este espacio como un círculo de la siguiente manera

A continuación, el abrir los conjuntos son precisamente los conjuntos que 'mirar' abrir en este diagrama; es decir: $$\emptyset, \{L_1\}, \{L_2\}, \{L_1, L_2\}, \{P_1, L_1, L_2\}, \{P_2, L_1, L_2\}, \{P_1, P_2, L_1, L_2\}$$

Resulta que este espacio tiene grupo fundamental de la $\mathbb Z$.

De hecho, podemos decir algo más fuerte. El pseudocircle es débilmente homotopy equivalente a la circunferencia $S^1$. Lo que significa es que no es una función continua $S^1\to V$ de manera tal que la inducida por morfismos en el grupo fundamental y sobre todo superior homotopy grupos son isomorphisms. Así que el pseudocircle comparte con $S^1$ la propiedad de que todos los más altos homotopy grupos se $0$.

Un espacio no tienen necesidad de cero mayor homotopy grupos con el fin de tener grupo fundamental de la $0$, sin embargo. Por ejemplo, tenga en cuenta que el homotopy grupo de functors preservar todos los productos y que $\pi_2(S^2)=\mathbb Z$. Eso significa que \begin{align} \pi_1(S^1\times S^2)&=\pi_1(S^1)\times\pi_1(S^2)=\mathbb Z\times 0=\mathbb Z\\ \pi_2(S^1\times S^2)&=\pi_2(S^1)\times\pi_2(S^2)=0\times \mathbb Z=\mathbb Z \end{align}

Por lo $S^1\times S^2$ es un ejemplo de un espacio topológico que es definitivamente diferente de $S^1$ desde el punto de vista de la topología algebraica, pero que todavía tiene grupo fundamental de la $\mathbb Z$.

Answer 3

El cociente del espacio de $X = (\Bbb R \times \{0,1\}) / {\sim}$ donde identificamos $(x,0)\sim(x,1)$ por cada $x\ne0$. Esto se llama la línea real con dos orígenes, y no es Hausdorff.

Podemos cubrir la $X$ con dos subconjuntos $U$$V$, correspondiente a$\Bbb R\times\{0\}$$\Bbb R \times \{1\}$, respectivamente. Desde su intersección $U\cap V$ tiene dos componentes, uno para los números positivos y otro para los números negativos, tenemos que elegir dos puntos de base, decir $a=[(1,0)]$$b=[(-1,0)]$. Ambos subespacios tienen un papel fundamental groupoid $\mathbf I$ que consta de una flecha $i:a\to b$ y su inversa. El teorema de van Kampen para groupoids los rendimientos como la base fundamental de groupoid $\pi_1(X,\{a,b\})$ que groupoid $G$ que se obtiene mediante el encolado de dos copias de $\mathbf I$ en sus puntos de $a$ y en sus puntos de $b$. El grupo en un punto de $G$ es isomorfo a $\Bbb Z$ y este es el grupo fundamental de la $X$.

Answer 4

Tomar cualquier (ruta de acceso conectado) base-señaló espacio de $X$ cuyo grupo fundamental tiene un subgrupo isomorfo a $\mathbb{Z}$. Tomar una base de puntas espacio topológico $Y$ y una cobertura de mapa de $Y \to X$ que corresponde a ese subgrupo, bajo el bijective correspondencia entre los subgrupos y señaló que cubre los espacios. De ello se desprende que $\pi_1 Y \approx \mathbb{Z}$.

Answer 5

Dos ejemplos de particular importancia en la topología simpléctica son la Mentira de los grupos de matrices unitarias $U(n)$ y simpléctica matrices $Sp(2n, \mathbb{R})$. El simpléctica matrices son los verdaderos $2n \times 2n$ matrices que satisfacen $A^T J A = J$, donde $$ J = \begin{pmatrix} 0 & -I_n \\ I_n & 0 \end{pmatrix} $$ es el estándar de estructura compleja en $\mathbb{R}^{2n}$.

En el caso de $U(n)$, un isomorfismo de $\pi_1 (U(n))$ $\mathbb{Z}$ es inducida por $\det : U(n) \to S^1$.

Otra Mentira ejemplo de grupo es $GL(n,\mathbb{C})$. Uno puede mostrar a través de la descomposición polar que, en realidad, la deformación se retrae en $U(n)$.