Estoy tratando de mostrar a los siguientes ejercicios del libro, está en la sección de cíclico extensiones y dice lo siguiente:
Deje $\overline{\mathbb Q}$ ser un fijo algebraicas cierre de $\mathbb Q$, vamos a $v\in\overline{\mathbb Q}-\mathbb Q$ y deje $E\subseteq\overline{\mathbb Q}$ ser un subcampo maximal con respecto a la propiedad $v\notin E$. Probar que cada finito dimensionales extensión de $E$ es cíclico.
Bueno, este es mi intento de la prueba:
Primero puedo demostrar que uno puede limitarse a un número finito extensiones de Galois. Entonces puedo demostrar que $E(v)$ es una extensión de Galois de $E$, señalando que por cada $\sigma\in Aut_E E(v)$, $\sigma(v)\notin E$; y que $E(v)$ es cíclica extensión de $E$, debido a la ausencia de intermedios campos y aplicando el teorema fundamental de la teoría de Galois . Siguiente, tengo la intención de proceder inductivamente en $n=[F:E]$ con el caso de $n=1$ trivial:
supongamos que la proposición es verdadera para todos los $m\leq r$,$r+1=[F:E]$; considerar el intermedio de campo $E\subseteq E(v)\subseteq F$ si $E(v)=F$ la propuesta ya ha sido comprobada. Si no, a continuación,$[F:E(v)]\leq r$, y tenemos que $F$ es de Galois sobre $E(v)$ (teorema fundamental), por lo tanto, la hipótesis de inducción muestra que $Aut_{E(v)}F$ es cíclico. El hecho de que $E(v)$ es de Galois sobre $E$ implica que el $Aut_{E(v)}F$ es normal en $Aut_E F$ y de nuevo por el teorema fundamental $Aut_E E(v)=Aut_E F/Aut_{E(v)}F$.
En este punto, yo había estado pensando acerca de una proposición de la forma "Si un grupo finito G contiene un normal cíclica de los subgrupos tales que el cociente $G/N$ también es cíclico, entonces G es cíclico"; lo cual es falso, incluso si se sustituye normal cíclica, para la máxima normal cíclico, y cosas como esta.
No sé qué hacer en esta etapa, yo estaría muy agradecido por una solución que sigue este camino. Gracias de antemano.
