Una desigualdad en Cevians

Question

Sea $\displaystyle AD$ , $\displaystyle BE$ , $\displaystyle CF$ sean tres cevianes concurrentes en $\displaystyle P$ dentro del $\displaystyle \Delta ABC$ .

Demuéstralo o desmiéntelo:

$$\displaystyle \dfrac{AD}{AP} + \dfrac{BE}{BP} + \dfrac{CF}{CP} \ge \dfrac{9}{2}$$

Answer 1

¡La desigualdad es cierta!

Se puede demostrar que (véase la prueba al final de la respuesta)

$$\displaystyle \frac{PD}{AD} + \frac{PE}{BE} + \frac{PF}{CF} = 1$$

Obsérvese que esto implica que

$$\displaystyle \frac{AP}{AD} + \frac{BP}{BE} + \frac{CP}{CF} = 2$$

como $\displaystyle 1 - \frac{PD}{AD} = \frac{AP}{AD}$ etc.

Ahora tenemos la desigualdad (fácilmente demostrable mediante $\text{AM} \ge \text{GM}$ ) que

$$\displaystyle (a_1 + a_2 + a_3)(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3}) \ge 9$$

Esto demuestra que

$$\displaystyle (\frac{AP}{AD} + \frac{BP}{BE} + \frac{CP}{CF})(\frac{AD}{AP} + \frac{BE}{BP} + \frac{CF}{CP}) \ge 9$$

y así

$$\displaystyle 2(\frac{AD}{AP} + \frac{BE}{BP} + \frac{CF}{CP}) \ge 9$$

es decir

$$\displaystyle \frac{AD}{AP} + \frac{BE}{BP} + \frac{CF}{CP} \ge \frac{9}{2}$$

Obsérvese que la igualdad sólo se produce cuando $\displaystyle \frac{AP}{AD} = \frac{BP}{BE} = \frac{CP}{CF} = \frac{2}{3}$ lo que implica que $\displaystyle P$ es el centroide.

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Prueba

Intentemos demostrar que

$$\displaystyle \frac{PD}{AD} + \frac{PE}{BE} + \frac{PF}{CF} = 1$$

Considere la figura (repetida desde arriba por comodidad).

Nota: si te preocupa el triángulo agudo frente al obtuso, etc., basta con una simple transformación afín para transformar el triángulo en un triángulo equilátero.

Sea X el pie de la perpendicular de A a BC e Y el pie de la perpendicular de P a BC.

$\displaystyle \triangle AXD$ y $\triangle PYD$ son similares y, por tanto

$\displaystyle \frac{PY}{AX} = \frac{PD}{AD}$ .

Ahora $\displaystyle \frac{PY}{AX} = \frac{|\triangle PBC|}{|\triangle ABC|}$

donde $\displaystyle |\triangle MNO|$ es el área de $\displaystyle \triangle MNO$ .

Así $\displaystyle \frac{PD}{AD} = \frac{|\triangle PBC|}{|\triangle ABC|}$

Del mismo modo

$\displaystyle \frac{PE}{BE} = \frac{|\triangle PAC|}{|\triangle ABC|}$

$\displaystyle \frac{PF}{CF} = \frac{|\triangle PAB|}{|\triangle ABC|}$

Sumar nos da

$$\displaystyle \frac{PD}{AD} + \frac{PE}{BE} + \frac{PF}{CF} = \frac{|\triangle PAB| + |\triangle PAC| + |\triangle PBC|}{|\triangle ABC|} = \frac{|\triangle ABC|}{|\triangle ABC|} = 1$$