Hallar la integral de la $\int_{0}^{\infty }\frac{1}{(4x-3)(4x-1)}\,dx$.

Question

El método que sea eficaz para la solución de esta integral?

Answer 1

La integral no converge porque de las singularidades.

Para calcular la integral entre a$a$$\infty$$a>\frac 34$, puede utilizar el siguiente método:

\begin{align} \int_{a}^{\infty }\frac{1}{(4x-3)(4x-1)} dx &= \lim_{N\to\infty} \int_{a}^N \frac{1}{(4x-3)(4x-1)} dx \end{align}

Ahora uso el hecho de que $$ \frac{1}{(4x-3)(4x-1)} = \frac 12 \left( \frac 1{4x-3} - \frac 1{4x-1} \right) $$ así que

\begin{align} \int_{a}^N \frac{dx}{(4x-3)(4x-1)} &= \frac 12 \left( \int_{a}^N \frac {dx}{4x-3} dx - \int_a^N \frac {dx}{4x-1} dx \right) \\&= \frac 18\left( \log \frac{|4N-3|}{|4a-3|} - \log \frac{|4N-1|}{|4a-1|} \right) \\&= \frac 18\left( \log \frac{4N-3}{4N-1} - \log \frac{4a-3}{4a-1}\right) \to -\frac18 \log \frac{4a-3}{4a-1} \end{align}

Answer 2

Como se ha indicado, la integral no converge. Contiene dos puntos singulares en los que la integral no converge: $x=\frac14$$x=\frac34$.

Sin embargo, podemos aplicar el Valor Principal de Cauchy. Una manera de calcular esto es usando el contorno de la integración. Podemos utilizar el contorno

$\hspace{4.5cm}$

$$ \small\color{#00A000}{iR[1,0]}\cup\color{#C00000}{\left[0,\frac14-\frac1R\right]}\cup\color{#00A000}{\frac14+\frac1Re^{i\pi[1,0]}}\cup\color{#C00000}{\left[\frac14+\frac1R,\frac34-\frac1R\right]}\cup\color{#00A000}{\frac34+\frac1Re^{i\pi[1,0]}}\cup\color{#C00000}{\left[\frac34+\frac1R,R\right]}\la copa \color{#0000FF}{Re^{i\pi\left[0,\frac12\right]}} $$ como $R\to\infty$ para obtener $$ \begin{align} \mathrm{PV}\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}x}{(4x-3)(4x-1)} &=\pi i\left(\operatorname*{Res}_{z=1/4}\frac1{(4z-3)(4z-1)}+\operatorname*{Res}_{z=3/4}\frac1{(4z-3)(4z-1)}\right)\\ &+\int_0^\infty\frac1{(4ix-3)(4ix-1)}i\,\mathrm{d}x\\ &=\pi i\left(-\frac18+\frac18\right)+\frac18\left[\log\left(\frac{4ix-3}{4ix-1}\right)\right]_0^\infty\\ &=-\frac{\log(3)}{8} \end{align} $$ El contorno no contiene singularidades, por lo que la integral sobre todo el contorno de la es $0$. Las piezas rojas son el Valor Principal de Cauchy. Las piezas verdes son el negativo de los residuos y la integral anterior. El pedazo de color azul se desvanece como $R\to\infty$.

En este caso, el Valor Principal de Cauchy es igual a lo que se podría conseguir si uno ingenuamente utiliza las fórmulas conseguido haciendo caso omiso de las singularidades, pero este no es siempre el caso.

Answer 3

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ Con $\ds{0 < a < \Lambda}$:

\begin{align}&\color{#c00000}{\pp\int_{0}^{\Lambda}{\dd x \over x - a}} =\lim_{\epsilon\ \to\ 0^{+}}\pars{\int_{0}^{a - \epsilon}{\dd x \over x - a} +\int_{a + \epsilon}^{\Lambda}{\dd x \over x - a}} =\lim_{\epsilon\ \to\ 0^{+}} \ln\pars{\verts{-\epsilon\bracks{\Lambda - a} \over -a\epsilon}} \\[5mm]&=\ln\pars{\Lambda - a \over a} \end{align}

\begin{align}&\color{#66f}{\large% \pp\int_{0}^{\infty}{\dd x \over \pars{4x - 3}\pars{4x - 1}}} ={1 \over 8}\,\lim_{\Lambda\ \to\ \infty}\bracks{ \pp\int_{0}^{\Lambda}{\dd x \over x - 3/4} -\pp\int_{0}^{\Lambda}{\dd x \over x - 1/4}} \\[5mm]&={1 \over 8}\,\lim_{\Lambda\ \to\ \infty} \bracks{\ln\pars{\Lambda - 3/4 \over 3/4} - \ln\pars{\Lambda - 1/4 \over 1/4}} ={1 \over 8}\,\lim_{\Lambda\ \to\ \infty} \ln\pars{{1 \over 3}\,{\Lambda - 3/4 \over \Lambda - 1/4}} \\[5mm]&=\color{#66f}{\large -\,{1 \over 8}\,\ln\pars{3}} \approx {\tt -0.1373} \end{align}

Answer 4

vuelve a escribir tu integrando en la forma $-\frac{1}{2}(4x-1)^{-1}+\frac{1}{2}(4x-3)^{-1}$