¿Son $10\times 10 matrices $ atravesados por potencias de una matriz única?

Question

No sé cómo responder esta pregunta:

¿Existe una matriz $10 de $ \times 10 $A$ tal que M_$ {10} (\mathbb {F}) = \text {span} \ {I, A, A ^ 2, \ldots, A ^ {100} \} \textrm {,} $$ donde $ $M_{10}(\mathbb{F}) es el espacio del vector de matrices de $ \times 10 $10 $\mathbb{F}$?

Creo que hay una conexión con la forma normal de Jordan.

Answer 1

Hay muchas razones por qué esto no es posible. Citando sin duda el teorema de Cayley-Hamilton viene a la mente, de la cual sigue que ya $A ^ {10} $ es ciertamente linealmente dependiente de las potencias anteriores. Pero también es un argumento muy básico: si había tal una matriz $A$, entonces todas las matrices$ $10\times10, siendo los polinomios en$ ~ $, conmutar entre sí. Que no lo hacen.

Answer 2

Cualquier $n \times n$ matriz $A$ satisface $p_A(A) = 0$, donde $ $p_A es la característica (grado n) polinomio de $A$; en particular, $A ^ $ n puede escribirse como una combinación lineal de la $I, A, A ^ 2, \ldots, A ^ {n - 1} $ y así por inducción puede por lo tanto cualquier potencia mayor de $A$. Así, el palmo sobre $\mathbb{F}$ de $\{I, A, A ^ 2, \ldots\}$ tiene dimensión más $n$, que (para $n > 1$) es más pequeño que el $n ^ 2 = \dim_{\mathbb{F}} $ M_n(\mathbb{F}) preguntadas.

Answer 3

Por razones que se explican por otras personas no solo de una matriz puede proporcionar una base para todas las otras matrices.

Sin embargo, La forma normal de Jordan es interesante tener en cuenta si queremos investigar los requisitos para ser capaz de expresar una matriz $A$ en términos de otra $B$. Ellos, obviamente, debe tener al menos pares misma dimensionalidad de la generalizada subespacios propios debido a que el bloque de la estructura se conserva por cualquier polinomio (o cualquier otra función que también). Luego podemos tratar y encontrar los pares de las relaciones de equivalencia para la generalización de la subespacios propios. $T_iA_iT_i^{-1} = B_i$ cómo se iba a traducir a los requisitos de un polinomio.. no sé. Pero es una pregunta interesante!