¿Por qué es Kunen inconsistencia en la parte superior de Cantor superior del ático?

Question

Motivación: he reproducido parte de la página 396 y 397 del Manual de la Lógica Matemática a continuación:

Así que si partimos de un concepto de número y jugar el juego de la nomenclatura de la más grande, ¿ Kunen inconsistencia dibujar el límite -por así decirlo - de lo que podemos concebir como un número? En la propaganda de la parte Superior del Ático se dice:

Bienvenido a la parte superior del ático, el transfinito reino de los grandes cardenales, el mayor infinito, llevando hacia arriba desde el simplemente inaccesible e inefable a la sutil e infinitamente ampliable conceptos más allá, hacia la calamidad de la inconsistencia.

Mi pregunta es ¿cómo podemos entender esta noción de KI y lo que es más importante ¿por qué es en la parte superior o ¿cuál es el límite de la concepción de número? ¿Tradinotional nociones de sentido común, la lógica de romper en cierto punto? ¿Cuál es la razón detrás de la elección de las palabras "la calamidad de incoherencia"?

Answer 1

La lógica clásica tiene una ley que se llama el principio de la explosión, también conocido por su nombre latino, ex falso quodlibet: de nada contradicción de la siguiente manera. Así que si uno tiene una teoría inconsistente, entonces se puede derivar ninguna declaración, incluyendo, por supuesto, cualquier declaración de $\psi$, en el lenguaje de la teoría de conjuntos, tales como el gran cardenal declaración de que te gusta (y su negación).

La inconsistencia es calamitoso, precisamente a causa de esta propiedad: si una afirmación y su negación son ambos teoremas, entonces el falso está a la par con la verdad, y las matemáticas no describe nada (desde inconsistente teorías no tienen modelos).

Por supuesto, esta propiedad general de la lógica clásica no abordar el contexto de la teoría de conjuntos y grandes cardenales, pero la situación aquí es simplemente un caso especial. Suponiendo que por el bien del argumento de que los axiomas de ZFC son consistentes, se puede ampliar mediante la adición de nuevos axiomas, incluyendo aquellos que afirman la existencia de este o aquel gran cardenal.

Kunen mostró que asumir que ambos ZFC y la existencia de un Reinhardt cardenal (el punto crítico de la $\kappa$ de no trivial de la primaria de la incrustación de $j : V \rightarrow V$), se puede derivar una incoherencia, y lo que en este sentido es una cota superior para el programa de la adición de gran cardenal axiomas de ZFC: en este punto, una incoherencia con ZFC es alcanzado.

Answer 2

Escribí la propaganda que dijo el Cantor del ático sobre la calamidad de la incoherencia, y lo que yo tenía en mente era la siguiente (aunque se me pueden haber exagerado la púrpura de la prosa). Una de las principales características de la gran cardenal de la jerarquía es el hecho de que es estrictamente creciente en la consistencia de la fuerza como uno se mueve más en el hiearchy. Aunque ingenua de un crítico puede encontrar culpa de esta situación---después de todo, no somos capaces de demostrar que incluso la consistencia de los grandes cardenales de nuestro estudio, y mucho menos de su existencia real---sin embargo, una perspectiva más informada lleva a la vista de que esta es precisamente la situación en la que nos buscan. Gödel del teorema de la incompletitud nos muestra que cualquier teoría que se puede describir es reemplazada en la consistencia de la fuerza por un estricto más fuerte de la teoría, y qué suerte que nos encontramos con una jerarquía de consistencia de la fuerza, no sólo en la meta-lógica de afirmaciones de consistencia, pero en el muy natural declaraciones de infinita combinatoria expresada por el gran cardenal conceptos de infinito. Por lo tanto, el gran cardenal de la jerarquía es exactamente lo que había conocido debe existir en la base de la incompletness teorema\begin{align*} \begin{pmatrix} \frac34 & \frac38 & \frac{11}{24}\\ \frac18 & \frac14 & \frac{11}{24}\\ \frac18 & \frac38 & \frac{1}{12} \enduna extremadamente alta jerarquía de la consistencia de la fuerza---pero que encuentra su sustancial de la esencia, no en el trenzado de auto-referencial matemática de los nudos, pero la verdadera, sólida de conceptos de la matemática del infinito.

Por lo tanto, tenemos la pequeña conceptos de infinito en el nivel de inaccesible cardenales y el como, y luego se mueven hacia arriba a través de la Mahlo cardenales, débilmente compacto de cardenales, el de Ramsey cardenales, el medibles cardenales, el fuerte de los cardenales, el bien compacta y supercompact señores cardenales, a los casi enorme, enorme y el super-gran cardenales, y así en la formación de la mayor parte de el gran cardenal de la jerarquía. Como los grandes cardenales más y más, la afirmación de que los conceptos son aún consistente con los axiomas de la teoría de conjuntos se vuelven cada vez más fuertes declaraciones. El más fuerte posible declaración, de la que cualquier otra declaración que sigue como una cuestión de lógica, es un incoherente declaración. Así, las grandes cardenales de alcanzar lo que me llama la calamidad de la inconsistencia, la hipótesis de que todas las declaraciones se vuelven triviales. El Kunen inconsistencia es la primera y más famosa refutación de cualquier gran cardenal axioma, y así que se sienta en la cima de la gran cardenal de la jerarquía.

Es concebible, y en consonancia con todo lo que sabemos hasta ahora, que uno podría encontrar inconsistencia menor en el gran cardenal de la jerarquía. De hecho, ya sabemos que es relativamente consistente con los axiomas de ZFC para sostener lo que uno podría encontrar inconsistencia en cualquier nivel deseado de la gran cardenal de la jerarquía. Esta es una consecuencia inmediata de la incompletness teorema, ya que si un gran cardenal afirmación es consistente con ZFC, entonces la afirmación de que es incompatible más de ZFC es consistente con la afirmación de que es cierto.

Answer 3

La teoría de conjuntos, y en general la lógica, tiene una gran parte dedicada a "¿hasta dónde podemos estirar esta teoría?" y a partir de las inconsistencias en FOL aparecen al instante, no hay "un poco de contradicción".

¿A qué me refiero? Así, trabajamos en un marco determinado, este marco ha de reglas de inferencias que no permiten "un poco" de incoherencia, pero en lugar de explotar una vez inconsistencias son introducidos.

El teorema de gödel muestra que si nuestra teoría es lo suficientemente fuerte, entonces si podemos decidir qué axioma es en la teoría, la teoría no estará completa. En particular, no será capaz de probar su propia consistencia.

ZFC es tal teoría, tiene las propiedades necesarias para el teorema de la incompletitud de Gödel, y, en particular, tiene la capacidad de expresar su propia consistencia. Por lo tanto no puede demostrarlo. De hecho, siempre tenemos que asumir que ZFC es consistente.

Grandes cardenales son otros axiomas, aquellos que son fuertes axiomas que a menudo demostrar la consistencia de ZFC. Este es un salto de fe, por así decirlo, y siempre tenemos que ser cautelosos de que no se presentan contradicciones. Las contradicciones son, por supuesto, los supuestos a partir de la cual podemos probar de todo, en particular la consistencia de ZFC.

Cuando añadimos el axioma "existe un cardinal inaccesible" podríamos haber añadido una incongruencia, pero no encontramos tal todavía (modulo algunas de las reivindicaciones que están sin comprobar). Esta es una forma muy leve de gran cardenal, pero es un axioma, no obstante.

Podemos añadir más, dos inaccesible. Infinitamente muchos inaccesible cardenales, o incluso una clase adecuada de los mismos. Aquellos que aún no dan una clara contradicción y por lo tanto aún estamos de acuerdo con la creencia de esos axiomas son consistentes.

Yendo aún más lejos estamos de alcanzar el punto de medir los cardenales. Allí nos encontramos con un punto sutil que se expresa en Kunen la inconsistencia del teorema. Es decir, medibles cardenales son puntos críticos de primaria incrustaciones de el universo en una subclase.

Si asumimos esta incrustación de ser en el universo, a continuación, que han derivado en una contradicción. Esto es algo que no queremos, así que mientras que no podemos aproximado por el "poco de incoherencia" o "un poco de contradicción" abordar el tema desde un ángulo diferente. Mediante el estudio de la razón exacta de donde se deriva la contradicción que son capaces de escribir los axiomas que están más cerca de él, pero no lo suficientemente fuerte como para demostrarlo.