¿Cuál sería la solución matemática a esta pregunta?

Question

Sé que por lo general se supone que no debo preguntar preguntas sobre los deberes, pero me imagino que está bien ahora, como ya he especie de resolver.

Tres inteligente de los monos dividir un montón de plátanos. El primer mono se lleva a algunos de los plátanos de la pila, mantiene tres cuartas partes de ellos, y divide el resto a partes iguales entre los otros dos. El segundo mono toma algunos de los plátanos de la pila, mantiene una cuarta parte de ellos, y divide el resto a partes iguales entre los otros dos. El tercer mono toma el resto de los plátanos de la pila, mantiene una doceava parte de ellos, y divide el resto a partes iguales entre los otros dos. Dado que cada mono recibe un número entero de plátanos cuando los plátanos están divididos, y los números de los plátanos de la primera, segunda, y tercera de los monos al final del proceso se encuentran en la relación de $3:2:1$, ¿cuál es el mínimo posible de total para el número de plátanos?

Después de algunos bastante insalubre Python golpear, me vino con un programa que me dijo la respuesta, 408. Pero, esa fue una pregunta de matemática, así que tengo curiosidad por saber: ¿cómo puedo resolver es si no el uso de Python.

Answer 1

Deje $n$ el número total de plátanos. Vamos $x$, $y$ y $z$ el número de plátanos tomado de la pila por el primer, segundo y tercer mono, respectivamente. Ya que al final todos los plátanos se han tomado, tenemos $x+y+z=n$.

El primer mono se lleva a $x$ bananas y mantiene a $\frac34x$, mientras que los otros dos monos obtener $\frac18x$ cada uno. Del mismo modo el segundo mono toma $y$ bananas, manteniendo $\frac14y$, mientras que los otros dos se $\frac38y$ cada uno. Y el tercer mono toma $z$ bananas, manteniendo $\frac1{12}z$, mientras que los otros $\frac{11}{24}z$ cada uno.

Supongamos ahora que el tercer mono termina con $k$ bananas. Tenemos $\frac18x+\frac38y+\frac{1}{12}z=k$. Debido a la relación de $3:2:1$, la primera y la segunda mono ha $3k$ $2k$ bananas, respectivamente. Podemos configurar similar ecuaciones para estos dos monos, es decir,$\frac34x+\frac38y+\frac{11}{24}z=3k$$\frac18x+\frac14y+\frac{11}{24}z=2k$. Ahora usted puede resolver el siguiente sistema de $x$, $y$ y $z$:

\begin{align*} \begin{pmatrix} \frac34 & \frac38 & \frac{11}{24}\\ \frac18 & \frac14 & \frac{11}{24}\\ \frac18 & \frac38 & \frac{1}{12} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3k\\2k\\k \end{pmatrix} \end{align*}

Esto le da $x=\frac{22}{17}k$, $y=\frac{26}{17}k$ y $z=\frac{54}{17}k$. Voy a establecer $p=\frac{k}{17}$ para hacer esto mejor. Así $x=22p$, $y=26p$ y $z=54p$. Sólo tenemos que encontrar a $p$ ahora.

Cada fracción en nuestro sistema de ecuaciones representa un número entero de plátanos que se distribuye. Así que necesitamos asegurarnos de que todas las fracciones en nuestro sistema son números enteros. En otras palabras, se busca el menor número positivo $p$ tal que $\frac14\cdot22p$, $\frac38\cdot22p$, $\frac14\cdot26p$, $\frac38\cdot26p$, $\frac1{12}\cdot54p$ y $\frac{11}{24}\cdot54p$ son números enteros.

Podemos ver por inspección (o por Python ataques) que $p=4$ es el más pequeño de tal número. Para $\frac38\cdot22p$, $\frac38\cdot26p$ y $\frac{11}{24}\cdot54p$ a ser números enteros, $p$ tiene que ser un múltiplo de $4$. Afortunadamente, $p=4$ hace que los otros tres valores de números enteros. Así $x=88$, $y=104$, y $z=216$, y éstos se suman a $n=408$.