Esta pregunta en MathOverflow me motiva a preguntar cuál es el razonamiento detrás de la conjetura de que hay sólo un número finito de biplanos. De manera más general, se ha conjeturado que fija $\lambda>1$ hay sólo un número finito de triples $(v,k,\lambda)$ de manera tal que un simétrica, equilibrada incompleta diseño de bloque, con estos parámetros existe.
Mi entendimiento es que antes de la prueba de que no hay ningún plano proyectivo de orden 10, había alguna esperanza de que la Bruck-Ryser-Chowla condición sería suficiente para la existencia de un diseño. Sin embargo, en ese momento la finitely-muchos-de los biplanos conjetura ya estaba en amplia circulación. Ya hay infinitamente muchos triples $(v,k,2)$ que satisfacen la Bruck-Ryser-Chowla condiciones, parece que el diseño de la teoría de la comunidad fue capaz de entretener a los dos conjeturas que no son simplemente incompatibles, pero claramente opuestas.
Es alguien consciente de cualquiera de la historia detrás de esto?
Elaboración (añadido posterior): Si pensamos en las familias de los diseños simétricos, con $v$ considerado como un parámetro y $\lambda$ alguna función de $v$ (que hacen $k$ una función de $v$ así), entonces podemos hablar de "gran-$\lambda$" diseños, donde $\lim_{v\to\infty}\frac{\lambda}{v}=\frac{1}{4}$, y los "pequeños-$\lambda$" diseños, donde $\lim_{v\to\infty}\frac{\lambda}{v}=0$. (Por supuesto que hay otras posibilidades.) Constante $\lambda$, por supuesto, se enmarca en la "pequeña-$\lambda$" de los casos.
Hay un considerable optimismo acerca de la "gran-$\lambda$" de los diseños. El Hadamard conjetura, por ejemplo, implicaría que un $(4n-1, 2n-1, n-1)$ existe para cada $n$. Creo que las personas han conjeturado algo similar para Menon diseños (parámetros de $(4u^2, 2u^2-u, u^2-u)$), y que la mayoría de la gente haría la misma conjetura para los modelos con parámetros de $(2a^2+2a+1,a^2,a(a-1)/2)$, por lo que una familia infinita es conocido.
Desde mi experiencia es principalmente con el "gran-$\lambda$" caso, tengo curiosidad acerca de las razones de la extrema pesimismo en el "pequeño-$\lambda$" de los casos.
