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Puede un magro lineal subespacio ser escrito como una contables aumento de la unión de la nada densa subespacios?

Deje $X$ ser una de Banach separable espacio. En esta pregunta, "subespacio" significa un subespacio lineal, no necesariamente cerrado.

Supongamos $E \subset X$ es un subespacio que es escaso, por lo que podemos escribir $E = \bigcup_n E_n$, donde el $E_n$ es para nada densa subconjuntos de a $X$. Sin pérdida de generalidad, podemos tomar $E_1 \subset E_2 \subset \cdots$. Puede el $E_n$ ser llevado a ser los subespacios de $X$? Es decir, ¿puede un exiguo subespacio siempre ser escrito como una contables aumento de la unión de la nada densa subespacios?

Tenga en cuenta que el lineal lapso de un lugar denso conjunto no es necesariamente la nada densa (considerar la unidad de la esfera), ni es la suma de dos denso en ninguna parte subespacios (por ejemplo, en $C([0,1])$, considerar la media de cero de las funciones y de las constantes).

Este vino al pensar en esta respuesta: no es suficiente para comprobar débil(-*) la convergencia en $L^2$ sobre el subespacio $C([0,1])$; una secuencia lineal funcionales pueden converger pointwise en $C([0,1])$, pero difieren en algún otro lugar. De manera más general, cuando es suficiente para comprobar débil-* la convergencia en un subespacio denso $A \subset X$? Es suficiente si $A$ es nonmeager, por una versión del uniforme de acotamiento principio y un triángulo desigualdad argumento. Pero un subespacio que es nonmeager carece de la propiedad de Baire, de modo tal $A$ sería un "extraño" en el subespacio, algo que probablemente no va a encontrar en la vida cotidiana. La mayoría de los ejemplos de la densa subespacios sé que son contables dimensión (de ahí escasos), o en una más fuerte de la norma (por lo tanto analítica en $X$, por lo tanto, tiene la pa, por lo tanto escasa; como por ejemplo,$C([0,1]) \subset L^2([0,1])$).

Así que me preguntaba si se podía demostrar que no es nunca suficiente para comprobar débil-* la convergencia en un magro subespacio. Si mi pregunta tiene una respuesta afirmativa, entonces podemos hacer lo siguiente: para cualquier escasos subespacio $E$, escribir $E = \bigcup_n E_n$ donde $E_n$ son el aumento de la nada densa subespacios. Desde $E_n$ es denso en ninguna parte, no es denso, por lo que por Hahn-Banach podemos encontrar$f_n \in X^*$$f_n(E_n) = 0$$\|f_n\| = n$. A continuación, $f_n(x) \to 0$ por cada $x \in E$, pero $\{f_n\}$ es ilimitado, así que (por el uniforme acotamiento principio) no es débil-* convergente. Por lo tanto no sería suficiente para comprobar débil-* la convergencia en $E$.

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Reto Meier Puntos 55904

Como ya he publicado en MathOverflow hace algún tiempo, la respuesta a esta pregunta es No. Voy a copiar mi contraejemplo aquí.

Deje $X = C_0([0,1])$, el espacio de funciones continuas $\omega$ $[0,1]$ tener $\omega(0)=0$. Fix $0 < \alpha < 1/2$ y deje $E = C^{0,\alpha}([0,1]) \cap X$ ser el subespacio de $\alpha$-Hölder funciones continuas. A continuación, $E$ es escaso en $X$. Por ejemplo, por Arzelà-Ascoli, el cierre de las bolas de la Hölder norma son compactos en $X$, por lo tanto, por Riesz del lexema es para nada densa, y $E$ es su contables de la unión. O: $E$ es de Banach en el Hölder norma, por lo tanto es la continua inyectiva imagen de un espacio de Banach, por lo tanto es Borel en $X$, por lo tanto, por el Pettis lema es escasa.

Ahora vamos a $\mu$ ser el Wiener medida en $X$. Es bien sabido que $\mu(E) = 1$, ya que el movimiento Browniano es casi seguro $\alpha$-Hölder continua para cualquier $\alpha < 1/2$. Por otro lado, supongamos $F$ es la nada cualquier subespacio denso de $X$, por lo que su cierre es un buen subespacio cerrado de $X$. Por Hahn-Banach existe un valor distinto de cero continuo lineal funcional $f$ que se desvanece en $F$. Ahora $\mu$ es una degenerada de Gauss medida en $X$, lo $f$ tiene una degenerada de una dimensión de la distribución Gaussiana en $\mu$; en particular, $\mu(F) \le \mu(\{f = 0\}) = 0$. Así, cada denso en ninguna parte en el subespacio tiene medida cero, por lo contables aditividad, $E$ no puede ser una contables de la unión de tales.

El seguimiento de la pregunta acerca de la comprobación débil-* la convergencia en un magro subespacio sigue sin respuesta de este escrito y se le pide más precisamente en el MO pregunta vinculado anteriormente.

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