probar que $10200300040000100004000300201$ no es cuadrado perfecto

Question

¿Cómo puedo probar que $ 10200300040000100004000300201$ no es un cuadrado perfecto? Este número es divisible por 3 $$ solo una vez. ¿Es una buena razón y es suficiente?

Gracias :)

Answer 1

Sí. Asuma por la contradicción que su número es un cuadrado perfecto $n ^ 2$.

Desde $3|n \cdot n$ y $ $3 es primo, sigue 3|n $$. Entonces $n = 3 k$ y $n ^ 2 = 9 k ^ 2$. Por lo tanto, su número es divisible por 9 $$, contradicción.

Answer 2

Asumir los distintos factores primos de $n$ se $p_1, p_2, \cdots, p_k$, como:

$$n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$$

Para $n$ a ser un cuadrado perfecto, una condición necesaria y suficiente es de $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k$ incluso, tal que $\sqrt{p_i^{\alpha_i}}$ es un entero $\implica$ $\sqrt{n}$ es un entero. De lo contrario, $\sqrt{n}$ es irracional y por lo tanto $$ n no es un cuadrado perfecto.

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Si $3$ divide a $n$ sólo una vez, entonces debemos tener:

$$n = 3^1 p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$$

$1$ no es uniforme, por lo tanto $$ n no es un cuadrado perfecto.

Answer 3

Indirecta: $ 3|n \wedge (n = k ^ 2, k\in\mathbb {N}) $ sigue ese $ $9|n.

Pista 2: Utilice la prueba de divisibilidad de $9$.

Answer 4

La raíz digital de un cuadrado es de $1, 4, 7$ o $9$. El tuyo es $3$...