Hay un número irracional $a$ tal que $a^a$ es racional?

Question

Se puede demostrar que hay dos números irracionales $a$ $b$ tal que $a^b$ es racional (véase Puede un número irracional elevado a un irracional poder ser racional?) y que para cada número irracional $c$ existe otro número irracional $d$ tal que $c^d$ es racional (ver Para cada número irracional b, ¿existe un número irracional tal que a^b es racional?).

Mi pregunta es: ¿hay un número irracional $a$ tal que $a^a$ es racional (y ¿cómo puede usted probar que)?

Answer 1

Por la continuidad de la función $x^x$, hay un $a$ tal que

$$a^a=2.$$

Este número es irracional. De lo contrario, deje $a$ ser la fracción irreducible $p/q$ y

$$\left(\frac pq\right)^{p/q}=2,$$ es equivalente a $$p^p=2^qq^p,$$

lo que implica que $p$ es incluso y $q$ es, incluso, una contradicción.

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Por el camino, como

$$\ln(a^a)=a\ln(a)=\ln(a)e^{\ln(a)},$$

tenemos

$$\color{green}{a=e^{W(\ln(2))}}$$

donde $W$ es la función de Lambert.

Answer 2

Si $a^a=2$, $a$ es irracional: Si $a=p/q$, $(p/q)^p=2^q$ es un número entero, por lo $p/q$ es un número entero.

Answer 3

Considere el único (positivo) de la solución de $a$$x^x = 2$. Si $a$ fueron racional, es decir, $a = \frac{p}{q}$, $p$ y $q$ son enteros positivos tales que a $\gcd(p, q) = 1$, tendríamos $$\left(\frac{p}{q}\right)^{p / q} = 2 ,$$ y reorganizar da $$p^p = q^p 2^q .$$ Ya que no hay ningún número entero $n$ tal que $n^n = 2$, debemos tener $q > 1$ y, por tanto,$2 \mid p^p$. Debido a $2$ es primo, tenemos $2 \mid p$. Por eso, $2$ se produce un número de veces que la factorización prima de $p^p$, y, asimismo, de $q^p$. Desde $p^p = q^p 2^q$, debemos tener $2 \mid q$, pero ahora $2 \mid p, q$, y esto contradice $\gcd(p, q) = 1$. Por lo tanto, $a$ es irracional, sino $a^a$ es racional (de hecho, un número entero).