Deje $\{a_{ij}\}$$i=1,2,3$, e $j=1,...,16$ ser algebraicamente independientes de elementos sobre algunos de los mejores del campo. Deje $k$ ser un campo que contiene todos los $a_{ij}$. A continuación, considere la posibilidad de $k^{16}$ $k$- espacio vectorial y $U$ ser lineal subespacio de todos los vectores ortogonales a la $(a_{i1},...,a_{i16})$. Ahora vamos a $G\subset GL_{32}(k)$ ser el conjunto de transformaciones de $k[x_1,...,x_{16},t_1,...,t_{16}]$ ($x_i$$t_i$ ser indeterminates) que fijan $t_i$ todos los $i$, y el mapa de $x_i$ $x_i+b_it_i$algunos $(b_1,...,b_{16})\in U$. Reclamo:
$k[x_1,...,x_{16},t_1,...,t_{16}]^G$ no es finitely generado.
Este es el famoso primer contraejemplo a Hilbert conjetura conocido como el decimocuarto problema (de sus 23 publicado los problemas). Estoy tratando de entender la prueba de que esto realmente funciona, y ya estoy un poco confundida con algunos de los argumentos / pasos en la primera algunas frases. Tal vez usted pueda ayudarme a salir de allí.
Hemos creado $u=t_1\cdots t_{16}$, $v_j=u/t_j$, $w_j=v_jx_j$, y, finalmente,$y_i=\sum a_{ij}w_j$$i=1,2,3$. Por supuesto, el $t_i$ son invariantes bajo $G$, y el $y_i$ también lo son. Ahora escribe:
"Desde $k[w_1,...,w_{16}]=k[y_1,y_2,y_3,w_4,...,w_6]$, $$k(x_1,...,x_{16},t_1,...,t_{16})=k(y_1,y_2,y_3,x_4,...,x_{16},t_1,...,t_{16}),$$ y $G$ es el conjunto de transformaciones lineales $\sigma$ $k[y_1,.y_2,y_3,x_4,...,x_{16},t_1,...,t_{16}]$ tal que $\sigma(y_i)=y_i$, $\sigma(t_j)=t_j$ y $\sigma(x_l)=x_l+b_lt_l$ con diferentes elementos de la $b_4,...,b_{16}$$k$."
Yo realmente no se donde que "Ya" está viniendo. Puedo mostrar igualdades, pero realmente no estoy utilizando el primero para mostrar la 2, excepto por que me dice que $w_1,w_2,w_3$ están en el lado derecho. Así que creo que tal vez es un "directo argumento de" otras de cálculo aquí para obtener la 2ª ecuación. Tal vez una "relación directa" entre los dos ecuaciones. He pensado en tomar el cociente de campo en ambos lados, pero que no parecen trabajar para mí, tampoco.
También me hizo pensar acerca de la forma en que me trató de probar la igualdad de dos anillos de los campos de la forma $k[...]=k[,,,]$ o $k(...)=k(,,,)$. Para el segundo tipo, es decir, en este caso la 2ª ecuación anterior, sólo me mostró que $x_1,x_2,x_3$ está en el lado derecho, y que $y_i$ están en el lado izquierdo. Pero que es exactamente la misma cosa que yo haría si no hubiera ronda entre paréntesis []. Estoy haciendo algo mal aquí?
Edit: Para hacer esto más preciso, creo que lo que estoy preguntando es: Vamos a $f_1,...,f_r,g_1,...,g_s\in k[x_1,...,x_n]$. ¿Qué tengo que hacer para demostrar que $k[f_1,...,f_r]=k[g_1,...,g_s]$, y en comparación a lo que sería necesario para tener $k(f_1,...,f_r)=k(g_1,...,g_s)$? Hay una diferencia fundamental entre los 2 métodos?
También, no estoy completamente de por qué podemos usar arbitraria $b_i$ aquí ahora, pero yo no quería pensar en eso todavía, así que voy a hacerlo y probar cosas yo allí, también :)
Gracias de antemano por leer este muro de texto, siento que tengo tanto tiempo.
