Es esta implicación verdad?

Question

Supongamos que una verdadera secuencia $u_n$ es tal que $$u_{n+1}-u_n \rightarrow0$$

Que no es suficiente para probar que el $u_n$ es convergente (tome $u_n=ln(n)$)

Ahora lo que si $u_n$ es limitada ? Supongo que hace converger, pero, ¿cómo demostrarlo ? He intentado mostrar que se trataba sólo de una acumulación de punto de...

Answer 1

Delimitada no ayuda. El uso de la secuencia de hechos de sumas parciales de la secuencia $$1, -\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, -\frac{1}{8},-\frac{1}{8},-\frac{1}{8},-\frac{1}{8},-\frac{1}{8},-\frac{1}{8},-\frac{1}{8},\dots.$$

Answer 2

La secuencia $$0, 1, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, 1, \frac{7}{8},\frac{6}{8},\frac{5}{8}, ..., \frac{1}{8}, 0 , \frac{1}{16}, \frac{2}{16}, ..., 1 , \frac{31}{32}, ...$$

no es convergente y tiene infinidad de acumulación de puntos (cada $x\in [0,1]$ es la acumulación de punto).

Answer 3

Sugerencia: Considerar $$ u_n=\sin(\log(n)) $$ Mostrar que $|u_{n+1}-u_n|\lt\frac1n$ aún $\limsup\limits_{n\to\infty}u_n=1$$\liminf\limits_{n\to\infty}u_n=-1$.

Answer 4

En $\mathbf R$ no ser una condición suficiente. Pero si usted desea ver los espacios donde esta condición es realmente útil, usted puede mirar a su alrededor ultrametric espacios. Es el nombre de métrica espacios de $(X,d)$ donde $\forall (x,y,z)\in X^3, d(x,y)\leq\sup(d(x,z),d(z,y))$ (con un fuerte desigualdad del triángulo). En esta espacios de una secuencia es una secuencia de Cauchy si y sólo si $d(u_n,u_{n+1})\rightarrow 0$. Así, en una completa ultrametric espacio, una sucesión es convergente si y sólo si $d(u_n,u_{n+1})\rightarrow 0$.

Me doy cuenta ahora, que en $\mathbf R$, la secuencia de $u_n$ es convergente si y sólo si la serie $\sum (u_n- u_{n-1})$ es convergente (por ejemplo si $u_n-u_{n-1}=O(1/n^a)$ donde $a>1$.