Lo que es una construcción geométrica correspondiente a la curva elíptica, además de Sharygin-triángulos isósceles?

Question

Considere la posibilidad de la curva elíptica definida por el cúbicos: $$ a^3 + a^2b + ab^2 + b^3 + (a^2 + ab + b^2)c - (a+b)c^2 - c^3 = 0 $$ en $\mathbb{P^2}$ con distinguidos punto de $[1, -1, 0]$ como identidad.

Recientemente, he aprendido que el verdadero puntos de la identidad de los componentes de esta curva naturalmente parametrizar Euclidiana triángulos con una casa de propiedad. Específicamente son triángulos escalenos tal que el triángulo formado por la intersección de las bisectrices de ángulos con lados opuestos es isósceles. He aquí un ejemplo:

(El triángulo en rojo, construido a partir de uno interno y dos externos bisectrices de los ángulos, es isósceles.)

Vamos a llamar a este establecimiento $P$. Ver aquí para una discusión más completa, con más fotos y un poco de historia.

Esto significa que dados dos triángulos de la satisfacción de la propiedad $P$, no es una forma asociada a terceros: la suma de los mismos bajo la curva elíptica de la adición. Mis preguntas son:

1. Podemos encontrar una construcción geométrica de la suma de dos de estos triángulos ?

2. Es que hay una familia natural de los objetos geométricos parametrizarse por la no identidad de los componentes de la curva elíptica ?

Respecto a la segunda pregunta, como se discute aquí parece que los triángulos son pero parece plausible que podría encontrar algo. E. g., una idea con el tipo de sabor que tengo en mente es el siguiente: un triángulo de la satisfacción de la propiedad $P$ cuenta con un distinguido lado. Podemos considerar los otros dos lados como un singular quadric. Tal vez la admisión de los no-singular quadrics nos da espacio para encontrar una interpretación de puntos en este otro componente. [NB: no pude conseguir que esto funcione.]

Answer 1

Esto es muy bonito! Por ahora, sólo tengo una pequeña nota para agregar que es demasiado largo para un comentario. Usted puede traer a la curva $$C: a^3 + a^2b + ab^2 + b^3 + (a^2 + ab + b^2)c - (a+b)c^2 - c^3=0$$ a la forma de Weierstrass $$E: y^2 + 1/3xy = x^3 + 7/9x^2 + 5/27x + 1/81$$ a través de $C\to E$ con coordenadas $$(a/3 + b/3, -a/9,-2a - 2b - c).$$ Y entonces usted puede fácilmente llevar a $E$ a un modelo de un mínimo de $y^2 + xy = x^3 + x^2 - 2x$, y calcular su Mordell-Weil grupo: tiene rango $1$ y torsión $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. El grupo de puntos racionales en el modelo mínimo es generado por el punto de $(0,0)$ orden $2$ y el punto de $(2,2)$ de orden infinito. (Todo esto lo he hecho con el Magma.)

Answer 2

No he llegado a través de esta relación entre una curva elíptica y triángulos isósceles antes. Si yo estuviera trabajando en su pregunta acerca de la suma de dos triángulos, en primer lugar, desea realizar un seguimiento de cómo las coordenadas $a$, $b$, y $c$ de la cúbico curva se obtuvieron a partir del triángulo. Luego, por supuesto, el mudo manera de estudiar su pregunta es escribir el grupo de la ley en el cúbicos curva en coordenadas, y calcular los de la suma, y se vuelve a traducir en un triángulo. En algún lugar a lo largo del camino, uno esperaría una idea sobre cómo lograr esto puramente geométrica.

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Preguntada sobre su problema, tengo más comentarios y preguntas. ¿Bajo qué condiciones dos triángulos dar el mismo punto de la curva cúbica? Supongo triángulos semejantes dará el mismo punto. Es eso cierto? Si es así, el punto es determinado por los tres ángulos del triángulo. ¿Cómo obtener las coordenadas del punto correspondiente de la curva de los tres ángulos? Claramente cualquier triángulo isósceles tendrá su propiedad $P$. No todas dan el mismo punto de la curva? Bajo qué condiciones es el nuevo triángulo equilátero? ¿Compruebe que su cúbicos curva es nonsingular? Tiene uno o dos ramas? Dado que la estructura de grupo en el cúbicos de la curva depende de la elección de un origen, de la asociación de triángulo hasta el punto de que también dependen de la elección o de origen?

Ya que usted menciona que el modelo racional, bajo qué condiciones en el triángulo es el punto correspondiente racional? A lo triángulo hace una $2$-torsión punto se corresponden?