Considere la posibilidad de la curva elíptica definida por el cúbicos: $$ a^3 + a^2b + ab^2 + b^3 + (a^2 + ab + b^2)c - (a+b)c^2 - c^3 = 0 $$ en $\mathbb{P^2}$ con distinguidos punto de $[1, -1, 0]$ como identidad.
Recientemente, he aprendido que el verdadero puntos de la identidad de los componentes de esta curva naturalmente parametrizar Euclidiana triángulos con una casa de propiedad. Específicamente son triángulos escalenos tal que el triángulo formado por la intersección de las bisectrices de ángulos con lados opuestos es isósceles. He aquí un ejemplo:
(El triángulo en rojo, construido a partir de uno interno y dos externos bisectrices de los ángulos, es isósceles.)
Vamos a llamar a este establecimiento $P$. Ver aquí para una discusión más completa, con más fotos y un poco de historia.
Esto significa que dados dos triángulos de la satisfacción de la propiedad $P$, no es una forma asociada a terceros: la suma de los mismos bajo la curva elíptica de la adición. Mis preguntas son:
Podemos encontrar una construcción geométrica de la suma de dos de estos triángulos ?
Es que hay una familia natural de los objetos geométricos parametrizarse por la no identidad de los componentes de la curva elíptica ?
Respecto a la segunda pregunta, como se discute aquí parece que los triángulos son pero parece plausible que podría encontrar algo. E. g., una idea con el tipo de sabor que tengo en mente es el siguiente: un triángulo de la satisfacción de la propiedad $P$ cuenta con un distinguido lado. Podemos considerar los otros dos lados como un singular quadric. Tal vez la admisión de los no-singular quadrics nos da espacio para encontrar una interpretación de puntos en este otro componente. [NB: no pude conseguir que esto funcione.]