¿Alguien puede dar un no-trivial ejemplo de compacto operadores en mecánica cuántica? Por supuesto, cualquier operador en un finito-dimensional espacio de Hilbert es compacto.
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Sandeep
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El punto es que compacta los operadores son, en primer lugar delimitado y normal (el uno mismo-adjoint en particular) delimitada operadores han delimitado espectro. En QM, el espectro es el conjunto de posibles valores de los observables representado por el operador (si la auto-adjunto). Así que el principal obstáculo para encontrar físicamente significativa compacto operadores en QM es el hecho de que casi todos los importantes observables en QM puede alcanzar infinitamente grandes valores, simplemente excluyendo observables relacionados con la Mentira de álgebra de grupos compactos (la primera de todas las $SU(2)$ y los efectos observables), cuyas representaciones son siempre sumas de finito dimensionales irreductible representaciones en vista de Peter-Weyl teorema.
La segunda obstrucción es que el espectro de estos operadores debe ser un punto de espectro con $0$ en la mayoría como único elemento de espectro continuo de la parte. De nuevo, los generadores del álgebra de Lie compacto Mentira grupos parecen ser la única posibilidad.
Buscando una compacta de operador Hamiltoniano por ejemplo, uno debe en primer lugar busca un sistema físico cuyas energías están delimitadas y diferenciadas. No es tan fácil para los sistemas estándar. Una salida podría ser para separar el espectro en dos partes si esta separación tiene algunas natural de significado físico, y considerar sólo el operador obtiene mediante la restricción de los valores a una parte solamente. Por ejemplo, un Hamiltoniano en el que se admite un infinito conjunto discreto de negativo autovalores $E_n$ acumulado $E=0$ y delimitada por debajo de y tales que, para los valores positivos, el espectro se vuelve continuo, para dar cabida a procesos de dispersión.
Un candidato es el Hamiltoniano del átomo de hidrógeno. Por desgracia, la degeneración de los niveles negativos de la energía $E_n$ (debido a la admitió que el aumento de los valores de los autovalores de a $L^2$ $L_z$ fijos $n$) aumenta demasiado rápidamente para producir una compacta de operador cuando la restricción de las energías entre el estado del suelo $E_0$ y el umbral para la dispersión de los procesos $E_\infty =0$. Creo que se debería embargo, es posible construir modelos donde la restricción a la de Hamilton para la parte diferenciada del espectro es compacto. En particular, debería ser posible tratar con una dimensiones de los sistemas.
Otra estrategia es la consideración más complicado de funciones reales de variables observables, que en un sentido son observables así. Un ejemplo típico es el inverso $H^{-1}$ del operador Hamiltoniano $H$ del oscilador armónico. Aquí el espectro es un puro punto de espectro incluido en $(0, 1/E_0]$, la degeneración de cada subespacio propio está ausente (constante) y $H^{-1}$ puede ser aproximada por un conjunto finito de rango operadores en el uniforme de la norma sólo en vista de la forma del espectro del operador: $H^{-1}$ es compacto.
El abandono de la solicitud que el operador debe representar un observable, no es un caso importante. Cada matriz de densidad (traza de clase, unidad de seguimiento, positiva operador) siempre es compacto, incluso si es un incoherente superposición de un infinito clase de estados puros. Esto es sólo porque la traza de la clase de los operadores compactos. El límite en el espectro se da aquí por un par de requisitos: positividad (por lo tanto el espectro está delimitado por debajo y el operador auto-adjunto) y finito de seguimiento (por lo tanto el espectro es limitado arriba ya que la traza es la suma de los autovalores).
La estadística operadores de describir los sistemas cuánticos en equilibrio térmico confinado en una caja, por ejemplo, $$\rho_\beta = \frac{e^{-\beta H}}{Z_\beta}$$ en particular, compacto operadores incluso si el Hamiltoniano $H$ se utiliza para la construcción de los estadísticos de los operadores no es compacto ni delimitada por encima.
user9098
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Compacto de los operadores a menudo aparecen en las ecuaciones integrales y se puede ver como continua generalizaciones de matrices, donde la correspondiente integral del núcleo no debe ser singular y debe caries lo suficientemente rápido en el infinito.
Un ejemplo es el Lippmann–Schwinger ecuación cuántica de dispersión de la teoría, ver https://en.wikipedia.org/wiki/Lippmann%E2%80%93Schwinger_equation .
yuggib
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Todos los normal estados cuánticos de un determinado W* álgebra cuántica de los observables son representados como compacto (en realidad la clase de seguimiento) de los operadores en un espacio de Hilbert (donde el álgebra de los observables se representa).
En otras palabras, todos los estados de la mecánica cuántica en la Schroedinger representación, es decir, la densidad de matrices (ambos puros y mixtos), compacto y de los operadores.
Los Hamiltonianos describir confinado partículas no son compactas, pero tienen compacto resolvent. Sin embargo, uno podría argumentar que la resolvent de un observable no es estrictamente una cantidad física.
