Processing math: 100%

7 votos

La expansión de un isomorfismo entre los subgrupos de G a un automorphism en G

Pregunta

Deje G ser algunos finito grupo, H1,H2G ϕ:H1H2 ser un grupo de isomorfismo. Siempre es posible expandir ϕ a un automorphism en G?

Explícitamente, hay un automorphism σAutG s.t σ|H1=ϕ?

Los esfuerzos hasta ahora

En primer lugar he considerado que la definición de σ dejando que \sigma\left(g\right)=\begin{cases}
\phi\left(g\right) & g\in H_{1}\\
\phi^{-1}\left(g\right) & g\in H_{2}\\
g & else
\end{casos}
pero, obviamente, estas σ no está bien definida para los elementos en H1H2 (distinta de e). Luego traté de \sigma\left(g\right)=\begin{cases}
\phi\left(g\right) & g\in H_{1}\setminus H_{2}\\
\phi^{-1}\left(g\right) & g\in H_{2}\setminus H_{1}\\
g & else
\end{casos}
pero entonces yo soy incapaz de probar la inyectividad, por ejemplo, cuando se xH1H2,yH1H2 obtenemos σ(x)=ϕ(x),σ(y)=y, por lo que es claro por qué la σ(x)σ(y).

Ahora mismo estoy cuestionando la veracidad de la reclamación. Pero tal vez es sólo mi constructivo prueba de que está mal?

8voto

mrseaman Puntos 161

No: por ejemplo, si H1 es un subgrupo del centro de G H2 es no, entonces no puede haber automorphism de G asignación de H1H2.

Gracias a Gerry Myerson y SteamyRoot para el suministro de ejemplos específicos.

La conjetura también falla en abelian grupos. E. g., tome G=Z2×Z4 y tome H1 H2 a los subgrupos generados por x=(0,2) y=(1,0) respectivamente. A continuación, el isomorfismo ϕ:H1H2 que se asigna a x yno puede ser extendida a G porque x es divisible por 2 pero y no lo es.

3voto

Justin Benfield Puntos 41

Es realmente difícil conseguir incluso un automorphism de un subgrupo que se extiende a un automorphism de todo el grupo (y, cuando sea posible, por lo general hay muchas maneras de hacer la extensión de la parte). Hay algunos bastante fuertes condiciones que son necesarias para lo que usted está preguntando acerca de (isomorfismo de los subgrupos que se extiende a automorphism de todo el grupo) a ser posible. En primer lugar, tiene que haber una automorphism de G, el cual se asigna el subgrupo H1H2, el cual requiere que el subgrupo de entramado se ve el mismo' (hasta el isomorfismo tipos) desde la perspectiva de cualquiera de los subgrupos (dando una descripción técnica de lo que 'tiene el mismo aspecto" en realidad es, es un poco difícil y tedioso, pero si se mira bastante razonablemente pequeño subgrupo de celosías, usted debería ser capaz de intuir lo que todo tiene que suceder). Por otra parte, el 've la misma condición lleva a los subgrupos de H1 y sus correspondientes subgrupos H2 (lo que limita que isomorphisms entre ellos el trabajo, cuando aún es posible hacer esto).

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X