Pregunta
Deje G ser algunos finito grupo, H1,H2≤G ϕ:H1↦H2 ser un grupo de isomorfismo. Siempre es posible expandir ϕ a un automorphism en G?
Explícitamente, hay un automorphism σ∈AutG s.t σ|H1=ϕ?
Los esfuerzos hasta ahora
En primer lugar he considerado que la definición de σ dejando que \sigma\left(g\right)=\begin{cases}
\phi\left(g\right) & g\in H_{1}\\
\phi^{-1}\left(g\right) & g\in H_{2}\\
g & else
\end{casos}
pero, obviamente, estas σ no está bien definida para los elementos en H1∩H2 (distinta de e). Luego traté de \sigma\left(g\right)=\begin{cases}
\phi\left(g\right) & g\in H_{1}\setminus H_{2}\\
\phi^{-1}\left(g\right) & g\in H_{2}\setminus H_{1}\\
g & else
\end{casos}
pero entonces yo soy incapaz de probar la inyectividad, por ejemplo, cuando se x∈H1∖H2,y∈H1∩H2 obtenemos σ(x)=ϕ(x),σ(y)=y, por lo que es claro por qué la σ(x)≠σ(y).
Ahora mismo estoy cuestionando la veracidad de la reclamación. Pero tal vez es sólo mi constructivo prueba de que está mal?