La expansión de un isomorfismo entre los subgrupos de $G$ a un automorphism en $G$

Question

Pregunta

Deje $G$ ser algunos finito grupo, $H_1, H_2 \leq G$ $\phi:H_1 \mapsto H_2$ ser un grupo de isomorfismo. Siempre es posible expandir $\phi$ a un automorphism en $G$?

Explícitamente, hay un automorphism $\sigma \in Aut_G$ s.t $\sigma \vert _{H_1}=\phi$?

Los esfuerzos hasta ahora

En primer lugar he considerado que la definición de $\sigma$ dejando que $$\sigma\left(g\right)=\begin{cases} \phi\left(g\right) & g\in H_{1}\\ \phi^{-1}\left(g\right) & g\in H_{2}\\ g & else \end{casos}$$ pero, obviamente, estas $\sigma$ no está bien definida para los elementos en $H_1 \cap H_2$ (distinta de $e$). Luego traté de $$\sigma\left(g\right)=\begin{cases} \phi\left(g\right) & g\in H_{1}\setminus H_{2}\\ \phi^{-1}\left(g\right) & g\in H_{2}\setminus H_{1}\\ g & else \end{casos}$$ pero entonces yo soy incapaz de probar la inyectividad, por ejemplo, cuando se $x\in H_{1}\setminus H_{2},y\in H_{1}\cap H_{2}$ obtenemos $\sigma\left(x\right)=\phi\left(x\right),\sigma\left(y\right)=y$, por lo que es claro por qué la $\sigma\left(x\right)\neq\sigma\left(y\right)$.

Ahora mismo estoy cuestionando la veracidad de la reclamación. Pero tal vez es sólo mi constructivo prueba de que está mal?

Answer 1

No: por ejemplo, si $H_1$ es un subgrupo del centro de $G$ $H_2$ es no, entonces no puede haber automorphism de $G$ asignación de $H_1$$H_2$.

Gracias a Gerry Myerson y SteamyRoot para el suministro de ejemplos específicos.

La conjetura también falla en abelian grupos. E. g., tome $G = \Bbb{Z}_2 \times \Bbb{Z}_4$ y tome $H_1$ $H_2$ a los subgrupos generados por $x = (0, 2)$ $y = (1, 0)$ respectivamente. A continuación, el isomorfismo $\phi : H_1 \to H_2$ que se asigna a $x$ $y$no puede ser extendida a $G$ porque $x$ es divisible por $2$ pero $y$ no lo es.

Answer 2

Es realmente difícil conseguir incluso un automorphism de un subgrupo que se extiende a un automorphism de todo el grupo (y, cuando sea posible, por lo general hay muchas maneras de hacer la extensión de la parte). Hay algunos bastante fuertes condiciones que son necesarias para lo que usted está preguntando acerca de (isomorfismo de los subgrupos que se extiende a automorphism de todo el grupo) a ser posible. En primer lugar, tiene que haber una automorphism de $G$, el cual se asigna el subgrupo $H_1$$H_2$, el cual requiere que el subgrupo de entramado se ve el mismo' (hasta el isomorfismo tipos) desde la perspectiva de cualquiera de los subgrupos (dando una descripción técnica de lo que 'tiene el mismo aspecto" en realidad es, es un poco difícil y tedioso, pero si se mira bastante razonablemente pequeño subgrupo de celosías, usted debería ser capaz de intuir lo que todo tiene que suceder). Por otra parte, el 've la misma condición lleva a los subgrupos de $H_1$ y sus correspondientes subgrupos $H_2$ (lo que limita que isomorphisms entre ellos el trabajo, cuando aún es posible hacer esto).