Estoy buscando mancha pruebas de que si $a_n$ es una secuencia de números complejos tales que $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{a_k}{k}$ converge, a continuación,$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n a_k=0$.
Mi no tan suaves prueba:
Deje $A_x=\sum\limits_{k=1}^{k\leq x} a_k$ y aplicar abel suma con la función de $f(x)=\frac{1}{x}$ .Llegamos $\sum\limits_{k=1}^n \frac{a_k}{k}-\int\limits_1^n\frac{A_x}{x^2}dx=\frac{A_n}{n}$. Por supuesto que se puede dividir la integral en trozos para obtener $\sum\limits_{k=1}^n \frac{a_k}{k}-\sum\limits_{i=1}^n (\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k})A_k=\frac{A_n}{n}$. Si tratamos de ampliar la $A_k$s en la parte de la izquierda se telescopios y los rendimientos de $\sum\limits_{k=1}^n \frac{a_k}{k} +\sum\limits_{k=1}^n (1-\frac{1}{k+1})a_k=\frac{A_n}{n}\iff \frac{(n-1)A_n}{n}=\sum\limits_{k=1}^n\frac{a_k}{k(k+1)}$. La norma de la parte derecha de la ecuación es claramente $\mathcal O(\log(n))$ ( use la desigualdad de triángulo y el hecho de que $\frac{a_k}{k}$ es limitado). El resultado deseado de la siguiente manera después de dividir ambos lados por $n-1$
Yo también agradecería alguna prueba de verificación. Al principio pensé que el problema iba a ser muy fácil, pero me tomó un poco de esfuerzo. Me estoy perdiendo algo importante? El problema original es real secuencias, pero no creo que te sea de ayuda. Obviamente, si la secuencia absolutamente convergente, entonces también sería absolutamente trivial.
