Suponga que se dan un lugar que se desvanece exacta 2-formulario de $B=dA$ abierta, conectada dominio $D\subset\mathbb{R}^3$. Me gustaría pensar que de $B$ como un campo magnético.
Considere que el producto $H(A)=A\wedge dA$. Al menos en la física del plasma de la literatura, $H(A)$ es conocida como la helicidad magnética densidad.
¿Cómo se puede determinar si hay un circuito cerrado de una forma $\mathbf{s}$ tal que $H(A+\mathbf{s})$ no es cero en todos los puntos en $D$?
La razón por la que estoy interesado en esta cuestión es que, si usted puede encontrar un $\mathbf{s}$, $A+\mathbf{s}$ va a definir un contacto de la estructura en $D$ cuyo Reeb vector de campo le da a las líneas de campo magnético. Por lo tanto, la cuestión está estrechamente relacionada con el Hamiltoniano de la estructura del campo magnético de la línea dinámica.
Voy a elaborar sobre este último punto un poco. Si hay un vector potencial de $A$ tal que $A\wedge dA$ es distinto de cero en todas partes, entonces la distribución de $\xi=\text{ker}(A)$ está en ninguna parte integrable, lo que significa $\xi$ define un contacto de la estructura en $D$ con un contacto global 1 formulario a -$A$. El Reeb campo vectorial de este contacto, la estructura relativa al formulario de contacto $A$ es el único campo de vectores $X$ que satisface $A(X)=1$$\text{i}_XdA=0$. Usando el estándar de volumen de forma $\mu_o$, $dA$ puede ser expresado como $\text{i}_{\mathbf{B}}\mu_o$ para una única divergencia-free vector campo $\mathbf{B}$. Por lo tanto, la segunda condición en la Reeb campo de vector puede ser expresado como $\mathbf{B}\times X=0$, lo que implica que las curvas integrales de $X$ coinciden con las líneas de campo magnético.
Un ejemplo en donde la $D=$3-bola y no $\mathbf{s}$ exista:
Deje $D$ consisten en aquellos puntos en $\mathbb{R}^3$ $x^2+y^2 < a^2$ para un número real $a>1$. Tenga en cuenta que todas cerrado de 1-formas son exactas en este caso. Deje $f:[0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ ser lisas, no la disminución de la función tal que $f(r)=0$$r<1/10$$f(r)=1$$r\ge1/2$. Deje $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ser el polinomio $g(r)=1-3r+2r^2$. Definir la 2-forma $B$ el uso de la divergencia del vector libre campo de $\mathbf{B}(x,y,z)=f(\sqrt{x^2+y^2})e_\phi(x,y,z)+g(\sqrt{x^2+y^2})e_z$. Aquí $e_\phi$ es el azimutal vector unitario e $e_z$ $z$- dirigido vector unitario. Es fácil comprobar que $B$, así definido, es una exacta 2-formulario que está en ninguna parte de fuga.
Debido a $g(1)=0$$f(1)=1$, el círculo, $C$, en el $z=0$-plano, $x^2+y^2=1$, es una curva integral para el campo de vectores $\mathbf{B}$. Voy a utilizar este hecho para demostrar que la helicidad de la densidad debe tener un cero para cualquier elección de calibre. Deje $A$ satisfacer $dA=B$ y supongamos $A\wedge B$ no es cero en todos los puntos en $D$. Tenga en cuenta que $A\wedge B=A(\mathbf{B})\mu_o$, lo $h=A(\mathbf{B})$ es un lugar de fuga de la función. Sin pérdida de generalidad, voy a suponer $h>0$. Por lo tanto, la integral de línea $I=\oint_C h\frac{dl}{|\mathbf{B}|}$ satisface $I>0$. Pero, por Avivar el teorema de, $I=2\pi\int_0^1g(r)rdr=0$, como es fácil verificar directamente la evaluación de la integral. Por lo tanto, no puede existir $A$.
