Estaba leyendo que los números ordinales no forman un conjunto, porque hay demasiados de ellos, en cambio, se forma una clase adecuada. Hay una máxima cardinalidad de un conjunto?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
sewo
Puntos
58
No, no hay un máximo de cardinalidad de un conjunto.
Si no existiera, entonces no sería (por definición) algunos de $A$ de este cardinalidad, y, a continuación, $\mathcal P(A)$ sería un conjunto con una mayor cardinalidad, por Cantor del teorema, por lo que la cardinalidad de a $A$ no fue máxima en todos, una contradicción.
Este no es en realidad más misteriosa que, por ejemplo, el hecho de que no hay un máximo finito de enteros.
No es raro pensar que de todas adecuada clases de como ser "del mismo tamaño", que luego en algunos discutible sentido de ser de un mínimo de límite superior para la posible cardinalidades de los conjuntos. Sin embargo, es difícil hacer esta intuitiva demanda precisa.
ManuelSchneid3r
Puntos
116
Como las otras respuestas han señalado, no hay mayor conjunto.
Sin embargo, hay un sentido en el cual la respuesta a su pregunta es "sí":
Supongamos $C$ es cualquier clase. A continuación, $C$ es una clase adecuada (es decir, no como un conjunto) si y sólo si existe una (clase) surjection de $C$ en los ordinales.
En un sentido, esto nos dice que el tamaño de $\{$ordinales$\}$ es el más pequeño de la clase adecuada "cardinalidad", de forma análoga a cómo - si bien no hay "más grande" conjunto finito - $\aleph_0$ es el más pequeño de cardinalidad infinita. (Mi uso de "el" aquí es, por supuesto, no es del todo correcto, pero bueno.) En el otro lado:
Es coherente que no hay ninguna (clase) surjection de los ordinales a $V$.
Por lo tanto, pueden ser diferentes "tamaños" de la adecuada clases, y en particular de la primera afirmación anterior no es trivial.
DiGi
Puntos
1925
No, no la hay. Es un básico resultado de Cantor que si $A$ es cualquier conjunto, $|\wp(A)|>|A|$.
João Victor Bateli Romão
Puntos
429
No, no la hay. No en el estándar de la teoría de conjuntos, que es la ZFC Teoría de conjuntos. La razón es el poder conjunto (el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado), como se explica por las otras respuestas aquí, tenemos $|\mathcal{P}(A)|>|A|$, para cualquier conjunto $A$.
Pero hay otros modelos de la teoría de conjuntos, con diferentes axiomas que permiten algo así como que:
http://phil.gu.se/logic/books/Holmes:Elementary_Set_Theory_with_a_Universal_Set.pdf
En este enlace, este conjunto es llamado universo $U$ y sorprendentes $|\mathcal{P}(U)|<|U|$. Pero recuerde, esto NO ocurre en la teoría de conjuntos ZFC.
djechlin
Puntos
1869
Un máximo de cardinalidad, por supuesto que no. En ZF(C) siempre se puede tomar el poder conjunto de un conjunto para obtener una más grande.
Yo en realidad iba a decir que el punto de la teoría de conjuntos es describir las diferentes maneras en que usted puede hacer muy grandes conjuntos sin hacer conjuntos que son demasiado grandes en algún sentido intuitivo, ya que conduce a inconsistencias o contradicciones. Por ejemplo, "el conjunto de todos los conjuntos", es "demasiado grande". Esto lleva a la paradoja de Russell cuando se utiliza para formar "el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos," que no contiene en sí ni no contiene en sí mismo.
ZF(C) proporciona un conjunto infinito por medio de los números naturales (que se define mediante la función sucesor) y la capacidad de tomar el poder conjuntos. Estas son poderosas operaciones y a través de la aplicación repetida de el juego de poder en algunas formas creativas, enormemente enorme conjuntos puede ser creado, pero por lo que sabemos, ZF(C) es aún más consistente.
Otras áreas de las matemáticas seguir un camino similar: se puede decir que el cálculo se formalizó porque la gente seguía haciendo el ridículo derivaciones con poder serie, como $1+2+3+4+\ldots = -1/2$ e lo-han -. Ahora el cálculo proporciona condiciones explícitas para cuando la alimentación de la serie se han sensical resultados. Y ciencias de la computación fue a través de un similar (y algo diferente) ruta de acceso en la descripción de lo que una función es computable.
